Ho trovato su un sito internet questo esercizio inserito tra quelli definiti di sola caccia agli angoli (e quindi facili), ma non riesco a risolverlo.
C'è qualcuno che riesce a darmi un aiuto?
Siano $ A $ e $ B $ due punti distinti sul cerchio $ k $. Sia $ C $ un punto posto sulla tangente a $ k $ in $ B $ tale che $ AB = AC $. Sia $ D $ l'intersezione della bisettrice di $ \angle ABC $ con $ AC $.
Supponi che $ D $ si trova all'interno di $ k $. Dimostra che $ \angle ABC > 72^\circ $.
Gli angoli nel cerchio - aiuto
Re: Gli angoli nel cerchio - aiuto
Cosa vuol dire $D$ interno alla circonferenza? In pratica se chiamo $X:=k\cap BD\ne B$, deve valere $\angle BAX=\angle BAD+\angle DAX>\angle BAD$, ma allora, visto che $\angle BAX\cong \angle CBX$ perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco e $2\angle CBX \cong \angle ABC$ perché $BX$ è una bisettrice per ipotesi, guardando il triangolo isoscele $\triangle ABC$ vale $$180°\cong\angle BAD+\angle ABC+\angle BCA\cong\angle BAD+2\angle ABC<\angle BAX+2\angle ABC\cong\frac{\angle ABC}{2}+2\angle ABC\cong\frac{5\angle ABC}{2}$$
Da cui $\angle ABC>\frac{180°\cdot 2}{5}=72°$.
Da cui $\angle ABC>\frac{180°\cdot 2}{5}=72°$.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
Re: Gli angoli nel cerchio - aiuto
Complimenti, soluzione semplice ed elegante.
Mi ero complicato la vita nel dimostrare il caso limite di $ D $ che cade su $ k $ in cui $ \angle ABC = 72^\circ $ scomodando la trigonometria (con la sola caccia agli angoli, che tra l'altro era l'obiettivo dell'esercizio, non riuscivo). Se ci fossi riuscito sarei passato ad analizzare il caso in cui $ D $ è all'interno di $ k $ per dimostrare che allora $ \angle ABC $ diventa maggiore di $ 72^\circ $.
Grazie Lasker.
ps - Credo che in futuro dovrò ricorrere ancora al tuo aiuto.
Mi ero complicato la vita nel dimostrare il caso limite di $ D $ che cade su $ k $ in cui $ \angle ABC = 72^\circ $ scomodando la trigonometria (con la sola caccia agli angoli, che tra l'altro era l'obiettivo dell'esercizio, non riuscivo). Se ci fossi riuscito sarei passato ad analizzare il caso in cui $ D $ è all'interno di $ k $ per dimostrare che allora $ \angle ABC $ diventa maggiore di $ 72^\circ $.
Grazie Lasker.
ps - Credo che in futuro dovrò ricorrere ancora al tuo aiuto.