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Data una circonferenza, prendiamo un punto fisso su di essa e da quel punto tracciamo tutte le corde che hanno come secondo estremo ogni altro punto della circonferenza. Dimostrare che il luogo dei punti medi di tali corde è una circonferenza.

Con i complessi viene in due righe...

Perfetto! Qualche idea senza complessi invece?

L'omotetia che ha come centro il punto fisso P e come rapporto $ \frac{1}{2} $ manda la circonferenza centrata in O in un'altra circonferenza di diametro $ \frac{OP}{2} $, tutti i secondi estremi vanno nei punti medi delle corde che dunque devono stare su tale circonferenza.

Perfetto grazie

Comunque è molto semplice, puoi usare anche il piano cartesiano e con pochi più conti che in complessi lo chiudi.

La via di quelli scarsi in geometria invece è: detto $O$ il centro, $P$ il punto fisso, $Q$ il punto mobile e $M$ il punto medio.
Abbiamo $OP=OQ$, $MP=MQ$ e $OM$ in comune, quindi $\triangle OMP\cong \triangle OMQ$ e dato che $Q,M,P$ sono allineati questo implica $\angle OMP=\pi/2$ per ogni scelta di $Q$ (e quindi di $M$). Allora $M$ guarda sotto un angolo fisso di $\pi/2$ il segmento $OP$, perciò $M$ appartiene alla circonferenza di diametro $OP$