Corde e punti medi

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AlexThirty
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Corde e punti medi

Messaggio da AlexThirty » 24 lug 2015, 15:05

Data una circonferenza, prendiamo un punto fisso su di essa e da quel punto tracciamo tutte le corde che hanno come secondo estremo ogni altro punto della circonferenza. Dimostrare che il luogo dei punti medi di tali corde è una circonferenza.
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luca95
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Re: Corde e punti medi

Messaggio da luca95 » 24 lug 2015, 15:34

Con i complessi viene in due righe...
Testo nascosto:
Senza perdita di generalità possiamo centrare la circonferenza nell'origine del piano di gauss, prenderla di raggio 1 e prendere come punto fisso il punto 1.
Allora il luogo dei punti medi delle corde sarà $ \displaystyle\frac{1+e^{i\theta}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{e^{i\theta}}{2}\hspace{0.6cm} $ al variare di $ \theta $, e si vede chiaramente che questa è una circonferenza di centro $ \frac{1}{2} $ e raggio $ \frac{1}{2} $.

AlexThirty
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Re: Corde e punti medi

Messaggio da AlexThirty » 24 lug 2015, 18:27

Perfetto! Qualche idea senza complessi invece?
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luca95
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Re: Corde e punti medi

Messaggio da luca95 » 24 lug 2015, 18:41

L'omotetia che ha come centro il punto fisso P e come rapporto $ \frac{1}{2} $ manda la circonferenza centrata in O in un'altra circonferenza di diametro $ \frac{OP}{2} $, tutti i secondi estremi vanno nei punti medi delle corde che dunque devono stare su tale circonferenza.

AlexThirty
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Re: Corde e punti medi

Messaggio da AlexThirty » 24 lug 2015, 20:59

Perfetto grazie
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erFuricksen
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Re: Corde e punti medi

Messaggio da erFuricksen » 25 lug 2015, 17:12

Comunque è molto semplice, puoi usare anche il piano cartesiano e con pochi più conti che in complessi lo chiudi.
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

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Drago96
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Re: Corde e punti medi

Messaggio da Drago96 » 25 lug 2015, 17:43

La via di quelli scarsi in geometria invece è: detto $O$ il centro, $P$ il punto fisso, $Q$ il punto mobile e $M$ il punto medio.
Abbiamo $OP=OQ$, $MP=MQ$ e $OM$ in comune, quindi $\triangle OMP\cong \triangle OMQ$ e dato che $Q,M,P$ sono allineati questo implica $\angle OMP=\pi/2$ per ogni scelta di $Q$ (e quindi di $M$). Allora $M$ guarda sotto un angolo fisso di $\pi/2$ il segmento $OP$, perciò $M$ appartiene alla circonferenza di diametro $OP$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

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