La ceviana della ceviana è una ceviana

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karlosson_sul_tetto
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La ceviana della ceviana è una ceviana

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 20 giu 2015, 13:24

Dato un triangolo ABC, poi D,E,F tre punti su BC, CA, AB rispettivamente in modo che AD,BE, CF concorrono in P. Siano L,M,N tre punti su EF,FD,DE rispettivamente. Dimostrare che DL,EM,FN concorrono se e solo se AL,BM,CN concorrono.
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"Chissa se la fanno anche da asporto"

cip999
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Re: La ceviana della ceviana è una ceviana

Messaggio da cip999 » 20 giu 2015, 14:05

Siano $\alpha_1 := \widehat{BAL},\; \alpha_2 := \widehat{LAC}$ e cicliche ($\beta_1, \: \beta_2, \: \gamma_1, \: \gamma_2$). Si ha che $FL = \dfrac{AF\sin\alpha_1}{\sin\widehat{ALF}}$ (teorema dei seni su $\triangle AFL$) e $LE = \dfrac{EA\sin\alpha_2}{\sin\widehat{ALE}}$ (teorema dei seni su $\triangle ALE$). Dunque $$\frac{FL}{LE} = \frac{AF\sin\alpha_1}{\sin\widehat{ALF}} \cdot \frac{\sin(\pi - \widehat{ALF})}{EA\sin\alpha_2} = \frac{AF\sin\alpha_1}{EA\sin\alpha_2}$$
Ciclicamente $\dfrac{DM}{MF} = \dfrac{BD\sin\beta_1}{FB\sin\beta_2}$ e $\dfrac{EN}{ND} = \dfrac{CE\sin\gamma_1}{DC\sin\beta_2}$.
Quindi $$\frac{FL}{LE}\frac{EM}{MD}\frac{DN}{NF} = \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB} \cdot \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\frac{\sin\beta_1}{\sin\beta_2}\frac{\sin\gamma_1}{\sin\gamma_2} \qquad (*)$$
Per Ceva su $\triangle ABC$ abbiamo che $AD, \: BE, \: CF$ concorrono $\Leftrightarrow \dfrac{BD}{DC}\dfrac{CE}{EA}\dfrac{AF}{FB} = 1$, ergo $$(*) \quad \Leftrightarrow \quad \frac{FL}{LE}\frac{EM}{MD}\frac{DN}{NF} = \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\frac{\sin\beta_1}{\sin\beta_2}\frac{\sin\gamma_1}{\sin\gamma_2}$$
Ora, per Ceva trigonometrico $AL, \: BM, \: CN$ concorrono $\Leftrightarrow \dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\dfrac{\sin\beta_1}{\sin\beta_2}\dfrac{\sin\gamma_1}{\sin\gamma_2} = 1$.
Quindi, per $(*)$, $$AL, \: BM, \: CN \; \text{concorrono} \quad \stackrel{(*)}{\Leftrightarrow} \quad \frac{FL}{LE}\frac{EM}{MD}\frac{DN}{NF} = 1 \quad \Leftrightarrow \quad DL, \: EM, \: FN \; \text{concorrono}$$
- E cosa c'è di peggio del suicidio?
- La vita.

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