Ciclicità perpendicolari a ciclicità

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karlosson_sul_tetto
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Ciclicità perpendicolari a ciclicità

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 14 giu 2015, 16:09

Un lemmino carino che ho trovato sbirciando sul forum, abbastanza facile

Dati $A,B,C,D$ quattro punti su una circonferenza e $E,G$ le proiezioni di $A,C$ rispettivamente su $BD$, $F,H$ le proiezioni di $B,D$ rispettivamente su $AC$, allora $EFGH$ è ciclico.
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Mountains Drew
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Re: Ciclicità perpendicolari a ciclicità

Messaggio da Mountains Drew » 14 giu 2015, 18:10

Bello

Spero di non fare pasticcio con le lettere (e angoli orientati)
Testo nascosto:
"ciclicità, ciclicità ovunque ovunque!"
$BGFC$ ciclico perchè $\angle BFC, \angle BGC$ retti
$AHED$ ciclico per angoli retti...
(volendo anche $BGHA$ e $CFED$ ciclici sempre per angoli retti, ma non serve)

E ora angle chasing (con angoli orientati, quindi conta l'ordine delle lettere)
$\angle GFH \stackrel{\stackrel{adiacenti}{\downarrow} }{=} \angle GFC\stackrel{\stackrel{BGFC cyc}{\downarrow}}{=} \angle GBC= \angle DBC\stackrel{\stackrel{ABCD cyc}{\downarrow}}{=} \angle DAC= \angle DAH \stackrel{\stackrel{AHED cyc}{\downarrow}}{=} \angle DEH\stackrel{\stackrel{adiacenti}{\downarrow}}{=} \angle GEH $

Quindi EFGH ciclico
C.V.D.

MATHia
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Re: Ciclicità perpendicolari a ciclicità

Messaggio da MATHia » 12 lug 2015, 22:34

Propongo una variante senza angoli orientati.
Testo nascosto:
$AFEB$ e $CHGD$ ciclici per gli stessi motivi di Mountains Drew.
Sia $K:=AC\cap BD$. Allora valgono
\[
KA\cdot KF=KB\cdot KE\quad\text{e}\quad KC\cdot KH=KD\cdot KG
\]
Moltiplicando membro a membro le due uguaglianze, si ottiene
\[
KA\cdot KF\cdot KC\cdot KH=KB\cdot KE\cdot KD\cdot KG\stackrel{(*)}{\iff} KF\cdot KH=KE\cdot KG
\]
dove la $(*)$ vale perchè per l'ipotesi di ciclicità di $ABCD$ si ha che $KA\cdot KC=KB\cdot KD$. Allora dall'ultima uguaglianza, $EFGH$ ciclico.

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