Aiutino per un problema di massimo

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6frusciante9
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Aiutino per un problema di massimo

Messaggio da 6frusciante9 » 20 mag 2015, 18:54

Qualcuno mi può dare qualche suggerimento ( in sintetica ) per il seguente problema ?

Determinare le coordinate dei vertici del triangolo di area massima tra quelli che hanno un vertice in $ (1,1) $ e gli altri due vertici sull'ellisse di equazione $ x^2+4y^2=5 $
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Lasker
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Re: Aiutino per un problema di massimo

Messaggio da Lasker » 20 mag 2015, 19:21

Consiglio che probabilmente sarà sbagliato (inoltre la mia idea di soluzione non è troppo sintetica)...
Testo nascosto:
Sapresti farlo con un cerchio di raggio $\frac{\sqrt{5}}{2}$, invece che con quella brutta ellisse?
Testo nascosto:
Le trasformazioni affini del piano conservano i rapporti tra aree! Scegline una che mandi il cerchio di prima nell'ellisse data... il triangolo di area massima del cerchio va in quello di area massima nell'ellisse, se non mi sbaglio
Ultima modifica di Lasker il 20 mag 2015, 19:26, modificato 1 volta in totale.
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6frusciante9
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Re: Aiutino per un problema di massimo

Messaggio da 6frusciante9 » 20 mag 2015, 19:26

Le affinità sono omotetie , traslazioni , riflessioni e loro composizioni giusto ?
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Re: Aiutino per un problema di massimo

Messaggio da Troleito br00tal » 20 mag 2015, 19:27

Usa quella che ti manda quell'ellisse in un cerchio (anche se non è una composizione di quelle che hai detto tu)

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6frusciante9
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Re: Aiutino per un problema di massimo

Messaggio da 6frusciante9 » 20 mag 2015, 19:42

Grazie per i suggerimenti anche se probabilmente quelle trasformazione non la conosco ... Vedo di cercarla . Grazie ancora
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Re: Aiutino per un problema di massimo

Messaggio da Lasker » 20 mag 2015, 19:52

Guarda che non è difficile, stiamo semplicemente dilatando (o contraendo, dipende come la vedi) uno dei due assi cartesiani del fattore giusto per ottenere un cerchio dall'ellisse data, lasciando invariato l'altro asse; ho scritto "affinità" perché è un fatto più generale e ogni tanto è comodo usare qualche altra trasformazione affine :wink:
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Re: Aiutino per un problema di massimo

Messaggio da 6frusciante9 » 21 mag 2015, 20:36

Dunque vediamo se ho capito :

Operiamo una dilatazione verticale $ y'=2y \ x'=x $ che manda l'ellisse $ x^2+4y^2=5 $ nella circonferenza $ x^2+y^2=5 $ . Dunque il punto $ (1,1) $ va in $ A'=(1,2) $ e noi ci poniamo il problema di massimizzare l'area di un triangolo iscritto in una data circonferenza , ma sappiamo che $ S=\frac{abc}{4R} $ e sappiamo che $ abc $ si massimizza quando $ a=b=c $ e dunque quando il triangolo é equilatero ...
Con qualche conticino ricaviamo che $ B'=(1,-2) \ C'=(-\sqrt{5},0) $ e ridilatando che $ A=(1,1),B=(1,-1),C=(-\sqrt{5},0) $ ...

Giusto ?
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Re: Aiutino per un problema di massimo

Messaggio da 6frusciante9 » 22 mag 2015, 17:16

In effetti quello non possi dirlo così senza una dimostrazione ... E magari non é neanche vero ...
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Re: Aiutino per un problema di massimo

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 22 mag 2015, 17:18

Hint:
Testo nascosto:
se prendi un triangolo generico non equilatero, prova ad ottenere un triangolo che ha un'area maggiore (fissa qualcosa...)
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---
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