Concorrenza!

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Kepler97
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Concorrenza!

Messaggio da Kepler97 » 14 mag 2015, 00:02

Sia $ABC$ un triangolo, inscriviamo in $ABC$ un quadrato in modo che abbia due vertici su $BC$ e gli altri due vertici sui lati $AB$ e $AC$, chiamiamo $O_A$ il centro di questo quadrato. Allo stesso modo troviamo i punti $O_B$ e $O_C$ lavorando sugli altri due lati.
Dimostrare che $AO_A$, $BO_B$, $CO_C$ concorrono.
Se le persone credono che la matematica non sia semplice, è soltanto perché non si rendono conto di quanto la vita sia complicata.
John von Neumann

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Nemo
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Concorrenza, più in generale!

Messaggio da Nemo » 30 lug 2015, 17:02

Io riscriverei "... in modo che abbia due vertici sulla retta \(BC\)...", in modo da includere anche i triangoli ottusangoli. :wink:
Sapendo che esiste l'omotetia di centro \(A\) che manda il quadrato di centro \(O_A\) in quello costruito su \(BC\), di centro \(O_A'\) (l'omotetia esiste perché il lato del primo quadrato opposto a \(BC\) è parallelo a \(BC\)), allora la stessa omotetia manda \(O_A\) in \(O_A'\) e dunque \(A,O_A,O_A'\) sono allineati. Il problema diventa così un caso particolare di un teorema enunciato e dimostrato da qualche parte qui .

Lo riporto qui in versione low knowledge :mrgreen:
Dati un triangolo \(ABC\) e tre punti \(D\),\(E\) ed \(F\) nello stesso piano, gli angoli orientati
\[ \widehat{CAE}=\widehat{FAB},\widehat{ABF}=\widehat{DBC}, \widehat{BCD}=\widehat{ECA} \implies \textrm{le rette }AD, BE, CF\textrm{ concorrono }\]Dimostrazione
Indichiamo \(\delta=\widehat{CAE}=\widehat{FAB}, \ \varepsilon=\widehat{ABF}=\widehat{DBC},\ \zeta=\widehat{BCD}=\widehat{ECA}\); con \(a,b,c,\alpha, \beta, \gamma \) le solite cose; \(p=\cfrac{a \sin \delta}{\sin (\alpha+\delta)}, \ q=\cfrac{b \sin \varepsilon}{\sin (\beta+\varepsilon)}, \ r=\cfrac{c \sin \zeta}{\sin (\gamma+\zeta)}\), se nessuno tra \(D,E,F\) giace sulla retta \(AB\) / \(BC\) / \(CA\) (in caso contrario, \(AD, BE, CF\) concorrono in un vertice di \(ABC\)). Nel sistema di coordinate baricentriche rispetto ad \(ABC\) l'equazione della retta \(AD\) è nella forma \(my=nz\), dunque \(\cfrac{m}{n}=\cfrac{[ABD]}{[ADC]}=\cfrac{c\, BD\, \sin (\beta +\varepsilon)}{b\, CD\, \sin (\gamma + \zeta)} \underset{\textrm{dei seni}}{\overset{\textrm{per il teorema}}{=}} \cfrac{c\, \sin \zeta \, \sin (\beta +\varepsilon)}{b\, \sin \varepsilon \, \sin (\gamma + \zeta)}=\dfrac{r}{q} \) \(\implies \textrm{retta }AD:\ ry=qz\). Ciclando, si ha che \(\textrm{retta }BE:\ rx=pz\) e \(\textrm{retta }CF:\ qx=py\). Si nota immediatamente che le tre rette concorrono nel punto \([p:q:r]\).
[math]

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