Sintetica + pochi conti a volte aiuta

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scambret
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Sintetica + pochi conti a volte aiuta

Messaggio da scambret » 21 apr 2015, 21:14

ABC triangolo ottuso in C. Sia C' la riflessione di C rispetto a AB e M il punto medio di AB. Sia N il punto di intersezione tra C'M e la circoscritta a ABC con C' tra M e N. Sia E l'intersezione tra AC' e la circoscritta a ABC e F l'intersezione tra BC' e la circoscritta a ABC. Sia K il punto medio di EF. Allora AB, CN e C'K sono allineati.

AGallese
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Re: Sintetica + pochi conti a volte aiuta

Messaggio da AGallese » 25 apr 2015, 19:13

Spero che la tesi fosse "concorrenti" :lol:

Per tanti angoli uguali $ \bigtriangleup FEC' \sim \bigtriangleup ABC' \cong \bigtriangleup ABC$.
Sia $X$ il punto di intersezione tra $KC'$ e $AB$. Dalla similitudine e gli angoli opposti al vertice segue $ B\hat{C'}M \cong E\hat{C'}K \cong F\hat{C'}N \cong A\hat{C'}X $, quindi $MN$ è sia mediana di $\bigtriangleup ABC'$ e simmediana di $\bigtriangleup FEC'$, mentre $KX$ è mediana di $\bigtriangleup FEC'$ e simmediana di $\bigtriangleup ABC'$.
A questo punto $X$ è piede della simmediana di $\bigtriangleup ABC$ e quindi in baricentriche è $X = (a^2 : b^2 : 0 )$.
Ora basta dimostrare che $CX$ e $C'M$ si intersecano in $N$. Si ricava dal rapporto tra le aree $C' = (2S_A : 2S_B : -c^2)$, da cui
\[ CX: \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a^{ 2 } & b^{ 2 } & 0 \\ x & y & z \end{vmatrix} = a^2y-b^2x=0
\qquad \qquad C'M: \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2S_{ A } & 2S_{ B } & -c^{ 2 } \\ x & y & z \end{vmatrix} = 2z-\frac{c^2}{a^2}x = 0 \]
Sia $Y$ il punto di intersezione, si ricava $Y=(2a^2 : 2b^2: c^2)$, ma poiché il triangolo è ottuso $Y$ si trova dal lato opposto di $AB$ rispetto a $C$ e da "quello giusto" rispetto $AC$ e $BC$, si ha $Y=(2a^2 : 2b^2: -c^2)$. (Non so bene come giustificare questa cosa :roll: )
Si verifica quindi che $Y$ appartiene alla circoscritta ad $\bigtriangleup ABC$ di equazione $a^2yz+b^2xz+c^2xy=0$, infatti:
\[ a^2(2b^2)(-c^2)+b^2(2a^2)(-c^2)+c^2(2a^2)(2b^2)= (abc)^2(-2-2+4)=0 \]
Ma allora $Y \equiv N$.

Segue che $CN$, $C'K$ e $AB$ concorrono in $X$, il piede della simmediana di $\bigtriangleup ABC$.

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