Buh ... bel triangolo

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6frusciante9
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Buh ... bel triangolo

Messaggio da 6frusciante9 » 13 apr 2015, 21:20

Sia $ ABC $ un triangolo isocele , rettangolo in $ C $ . Siano $ \Gamma $ e $ \gamma $ , rispettivamente , la circonferenza circoscritta ad $ ABC $ e la circonferenza inscritta in $ ABC $ . Sia infine $ PQ $ la corda di $ \Gamma $ , diversa dal diametro , parallela ad $ AB $ e tangente a $ \gamma $ . Mostrare che esiste un punto $ R $ su $ \Gamma $ tale che il triangolo $ PQR $ ha $ \gamma $ come circonferenza inscritta .

Qualcuno può controllare e aiutarmi con la mia soluzione in complessi/sintetica ? Grazie
Testo nascosto:
Dunque $ \Gamma $ circonferenza unitaria . Quindi $ c=i $ , $ b=1 $ , $ a=-1 $ . Dimostreremo che $ R=-i $ . Sia $ I $ il centro di $ \gamma $

$ 2S_{ABC}=AC\cdot CB=2 \\ 2S_{ABC}=(AB+BC+CA)\cdot OI \\ OI=\sqrt2-1 $

Sia $ T $ il punto di tangenza tra $ QP $ e $ \gamma $ , dunque per quanto appena detto $ T=(2\sqrt2-2)i $ . Quindi i punti $ Q $ e $ P $ avranno parte immaginaria $ (2\sqrt2-2)i $ e possiamo trovare la parte reale intersecando la retta $ \Im(z)=(2\sqrt2-2) $ e la circonferenza unitaria che ha equazione $ z=\dfrac{1}{\bar z} $ . Svolgendo i calcoli otteniamo
$ q=-\displaystyle \sqrt{8\sqrt2-11}+(2\sqrt2-2)i \\ p= \sqrt{8\sqrt2-11}+(2\sqrt2-2)i $

Il triangolo $ PQR $ è iscritto nella circonferenza unitaria dunque esistono tre complessi $ u,v,w $ tali che
$ q=u^2 \\ p=v^2 \\ r=w^2 $

e sappiamo che l'incentro di $ PQR $ è $ -(uv+vw+uw) $ .

Ora se riusciamo a dimostrare che $ -(uv+vw+uw)=\sqrt2-1 $ abbiamo vinto in quanto sappiamo anche che $ \gamma $ è tangente a $ PQ $ .

Il problema è svolgere questo calcoletto finale .... come posso trovare $ u,v,w $ ?
Grazie
Edit : Ok sono riuscito a chiudere con i vettori , e poi ho trovato una soluzione facile in analitica .
Chi lotta con i mostri deve star attento a non diventare un mostro. E se guarderai a lungo un abisso, l'abisso finirà per guardare in te

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