Testo della semifinale 2010 ha scritto:La Perla Vera è braccata dal Cramer, il terribile mostro marino scatenato da Davy Jensen, e sta cercando di raggiungere la terra prima di lui. L’isola più vicina è un punto che si trova esattamente 10 miglia a nord della nave. Siccome il vento non è di poppa ma un po’ laterale, Capitan Disparrow imposta una rotta che alterna continuamente due direzioni diverse: verso nord-est (30 gradi rispetto al nord) la nave va a 6 m/s, mentre verso nord-ovest (60 gradi rispetto al nord) la nave va a 4 m/s. Il Cramer parte da un punto 10 miglia più a sud della nave e si muove verso nord a velocità costante. Qual è la massima velocità del Cramer che permette alla Perla Vera di arrivare all’isola per prima? Rispondere in cm/s.
Non riesco proprio a venirne a capo, qualcuno mi aiuta?
1) forse combinatoria non è la sezione migliore in cui postare questo problema, io se avessi dovuto scegliere lo avrei messo in geometria
2) Il problema in realtà è di fisica più che di matematica ed è più semplice di quanto non sembri ad una prima occhiata...
Ti scriverò hint dopo hint:
Hint 1
Testo nascosto:
Possiamo tracciare un sistema di riferimento con origine la Perla e vedere che le velocità possono essere scritte come dei vettori di coordinate polari
$ \vec {v}_1 (6, 60°) $ e $ \vec v_2 (4, 150°) $ e da qui sappiamo che le componenti x dei corrispondenti vettori spostamento devono essere uguali ed opposte.. no?
Hint 2
Testo nascosto:
Siccome ai fini del tragitto è completamente identico, non ci importa quante volte la nave cambierà direzione, quindi possiamo immaginare che si muova lungo i cateti del triangolo rettangolo 30° 60° che ha come ipotenusa le 10 miglia che separano la posizione iniziale da quella finale. Questo vuol dire che il tempo impiegato dalla nave è determinato, non ce n'è uno massimo o uno minimo.
Hint 3
Testo nascosto:
Detto questo posso seguire un sacco di strade per fare i conti finali, a me piaceva questo: Considero le componenti y delle velocità, allora saranno $ v_{1y}=3 \sqrt 3 $ e $ v_{2y}= 2 $ ; chiamo H il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa e con facili similitudini sui triangoli rettangoli (Euclide) vedo che $ AH = 3 BH $ dove A è il punto di partenza e B il punto di arrivo. Ora farò una cosa per semplice comodità nei calcoli: siccome non è davvero importante il valore di AB ai fini delle velocità (infatti possiamo verificare che poi s semplifica) decido che $ AB = 4 m $ per rendermi la vita più semplice
Quindi calcolo il tempo che la nave impiega ad andare da A in B:
$ t= \frac {3}{3 \sqrt 3} + \frac{1}{2} $ e quindi $ t={2+ \sqrt 3} \over {2 \sqrt 3} $
Tuttavia so che il tempo impiegato dal Kramer deve essere maggiore o uguale a quello della nave, e se voglio che la sua velocità sia il massimo possibile allora deve essere minimo il tempo, perciò dico che il tempo che impiega il Kramer è uguale a quello della Perla. La sua distanza è 8m e la sua velocità è x:
$ {{2+ \sqrt 3} \over {2 \sqrt 3}} = \frac {8}{x} $ e dopo un po' di conti ottengo $ x= 32 \sqrt 3 - 48 $
Volevo comunque precisare che era il problema nello specifico, e non la tipologia, a crearmi fastidio, e che ho avuto un po' di difficoltà nello scegliere la sezione. Grazie della soluzione
