Fatto curioso

[matpro98]

Dimostrare che, preso un $n$-agono regolare inscritto in una circonferenza di raggio $1$, il prodotto di tutte le corde aventi per estremi due vertici del poligono, di cui uno è fissato, compresi i lati, è $n$.
Sempre che non abbia sbagliato...

[simone256]

Aspetta sei sicuro del risultato? Sono un po' svampito ma mi pare che per il quadrato non torni!

[matpro98]

S, infatti, volevo mettere una versione più complicata ma era sbagliata. Ho corretto con l'originale

[Lasker]

Mettendoci nel piano complesso, gli $n$ vertici del poligono corrispondono (per una nota proprietà) alle radici $n$-esime dell'unità. Le distanze cercate corrisponderanno quindi ai moduli dei numeri complessi $1-\omega_i$, per $i$ che va da $1$ a $n-1$.
Considerando ora il polinomio $$P(x)=\frac{x^n-1}{x-1}=\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}$$
Esso avrà come radici esattamente tutte le radici dell'unità escluso $1$ (perché abbiamo eliminato il fattore $(x-1)$), e quindi si potrà fattorizzare (per Ruffini, osservando anche che il polinomio di partenza è monico) come
$$\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}=P(x)=\prod_{i=1}^{n-1}(x-\omega_i)$$
Ma allora vale
$$n=\left|\sum_{i=0}^{n-1} 1^{i}\right|=|P(1)|=\left|\prod_{i=1}^{n-1}(1-\omega_i)\right|=\prod_{i=1}^{n-1} |1-\omega_i|$$
E la tesi è dimostrata

[simone256]

Beh può essere anche quella interessante!
Magari se il prodotto valesse tipo $ n^{n/2} $

[matpro98]

Sì, giusto, allora avevo sbagliato il /2

[EvaristeG]

ah, un vecchio classico dei primi G1 medium

[Chuck Schuldiner]

ah, un vecchio classico dei primi G1 medium

4000 MESSAGGI!!1!!11!!!
AUGURI!!! <3 <3 <3 8===D




---------8==D8==D------------8==D8==D
------8==D8==D8==D------8==D8==D8==D
----8==D8==D8==D8==D8==D8==D8==D8==D
----8==D8==D8==D8==D8==D8==D8==D8==D
-------8==D8==D8==D8==D8==D8==D8==D
----------8==D8==D8==D8==D8==D8==D
-------------8==D8==D8==D8==D8==D
-------------------8==D8==D8==D
------------------------8==D

[matpro98]

ah, un vecchio classico dei primi G1 medium

Davvero? Non lo sapevo

[EvaristeG]

http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezio ... G1-Sam.pdf
Beh, all'epoca era Trigonometria plus + un po' di disuguaglianze a caso (sì, non avevamo le idee chiare). E questo era un bell'esercizio sui numeri complessi.

(o ti ignoro o ti stanzo, coso, fai tu...)

[matpro98]

Dai, con i medium non mi sono spinto fino al 2010... se proprio vuoi, ignorami allora

[<enigma>]

(o ti ignoro o ti stanzo, coso, fai tu...)

Cosa credi, che non ci abbiano già provato? Se riesci a sopportare il tanfo di birra e la musica del belin all'entrata nel sacro tempio, sei meritevole di stanzarlo

[EvaristeG]

Dai, con i medium non mi sono spinto fino al 2010... se proprio vuoi, ignorami allora

Non parlavo con te, come ha chiaramente colto <enigma> (a cui posso solo rispondere: tsk...amateurs...)

[benzo494]

Dai, con i medium non mi sono spinto fino al 2010... se proprio vuoi, ignorami allora

Non parlavo con te, come ha chiaramente colto <enigma> (a cui posso solo rispondere: tsk...amateurs...)

4003 MESSAGGI!!1!!11!!!
AUGURI!!! <3 <3 <3 8===D




---------8==D8==D------------8==D8==D
------8==D8==D8==D------8==D8==D8==D
----8==D8==D8==D8==D8==D8==D8==D8==D
----8==D8==D8==D8==D8==D8==D8==D8==D
-------8==D8==D8==D8==D8==D8==D8==D
----------8==D8==D8==D8==D8==D8==D
-------------8==D8==D8==D8==D8==D
-------------------8==D8==D8==D
------------------------8==D