Fatto curioso

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matpro98
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Fatto curioso

Messaggio da matpro98 » 01 mar 2015, 00:10

Dimostrare che, preso un $n$-agono regolare inscritto in una circonferenza di raggio $1$, il prodotto di tutte le corde aventi per estremi due vertici del poligono, di cui uno è fissato, compresi i lati, è $n$.
Sempre che non abbia sbagliato... :lol:
Ultima modifica di matpro98 il 01 mar 2015, 10:03, modificato 2 volte in totale.

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simone256
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Re: Fatto curioso

Messaggio da simone256 » 01 mar 2015, 09:46

Aspetta sei sicuro del risultato? Sono un po' svampito ma mi pare che per il quadrato non torni! :(
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

matpro98
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Re: Fatto curioso

Messaggio da matpro98 » 01 mar 2015, 10:05

S, infatti, volevo mettere una versione più complicata ma era sbagliata. Ho corretto con l'originale

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Lasker
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Re: Fatto curioso

Messaggio da Lasker » 01 mar 2015, 10:24

Mettendoci nel piano complesso, gli $n$ vertici del poligono corrispondono (per una nota proprietà) alle radici $n$-esime dell'unità. Le distanze cercate corrisponderanno quindi ai moduli dei numeri complessi $1-\omega_i$, per $i$ che va da $1$ a $n-1$.
Considerando ora il polinomio $$P(x)=\frac{x^n-1}{x-1}=\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}$$
Esso avrà come radici esattamente tutte le radici dell'unità escluso $1$ (perché abbiamo eliminato il fattore $(x-1)$), e quindi si potrà fattorizzare (per Ruffini, osservando anche che il polinomio di partenza è monico) come
$$\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}=P(x)=\prod_{i=1}^{n-1}(x-\omega_i)$$
Ma allora vale
$$n=\left|\sum_{i=0}^{n-1} 1^{i}\right|=|P(1)|=\left|\prod_{i=1}^{n-1}(1-\omega_i)\right|=\prod_{i=1}^{n-1} |1-\omega_i|$$
E la tesi è dimostrata
Ultima modifica di Lasker il 01 mar 2015, 10:26, modificato 1 volta in totale.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

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simone256
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Re: Fatto curioso

Messaggio da simone256 » 01 mar 2015, 10:25

Beh può essere anche quella interessante! :)
Magari se il prodotto valesse tipo $ n^{n/2} $ :wink:
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


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matpro98
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Re: Fatto curioso

Messaggio da matpro98 » 01 mar 2015, 10:57

Sì, giusto, allora avevo sbagliato il /2 :lol:

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Re: Fatto curioso

Messaggio da EvaristeG » 06 mar 2015, 14:41

ah, un vecchio classico dei primi G1 medium :D

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Re: Fatto curioso

Messaggio da Chuck Schuldiner » 06 mar 2015, 16:31

EvaristeG ha scritto:ah, un vecchio classico dei primi G1 medium :D
4000 MESSAGGI!!1!!11!!!
AUGURI!!! <3 <3 <3 8===D





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https://www.youtube.com/watch?v=35bqkTIcljs

Mare Adriatico: fatto
tetto del Di Stefano: fatto
finestra del Verdi: fatto
lavandino del Cecile: fatto
Arno: fatto
Mar Tirreno: fatto
Mar Ionio: fatto
tetto del Carducci: fatto
mura di Pisa: fatto

ho fatto più allo scritto in normale che alla maturità \m/

non aprire questo link

un pentacolo fatto col mio sangue
Testo nascosto:
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matpro98
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Re: Fatto curioso

Messaggio da matpro98 » 06 mar 2015, 18:43

EvaristeG ha scritto:ah, un vecchio classico dei primi G1 medium :D
Davvero? Non lo sapevo

EvaristeG
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Re: Fatto curioso

Messaggio da EvaristeG » 07 mar 2015, 02:45

http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezio ... G1-Sam.pdf
Beh, all'epoca era Trigonometria plus + un po' di disuguaglianze a caso (sì, non avevamo le idee chiare). E questo era un bell'esercizio sui numeri complessi.

(o ti ignoro o ti stanzo, coso, fai tu...)

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Re: Fatto curioso

Messaggio da matpro98 » 07 mar 2015, 06:53

Dai, con i medium non mi sono spinto fino al 2010... se proprio vuoi, ignorami allora ;)

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<enigma>
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Re: Fatto curioso

Messaggio da <enigma> » 07 mar 2015, 10:32

EvaristeG ha scritto:(o ti ignoro o ti stanzo, coso, fai tu...)
Cosa credi, che non ci abbiano già provato? Se riesci a sopportare il tanfo di birra e la musica del belin all'entrata nel sacro tempio, sei meritevole di stanzarlo :mrgreen:
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

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Re: Fatto curioso

Messaggio da EvaristeG » 07 mar 2015, 23:05

matpro98 ha scritto:Dai, con i medium non mi sono spinto fino al 2010... se proprio vuoi, ignorami allora ;)
Non parlavo con te, come ha chiaramente colto <enigma> (a cui posso solo rispondere: tsk...amateurs...)

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benzo494
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Re: Fatto curioso

Messaggio da benzo494 » 10 mar 2015, 22:59

EvaristeG ha scritto:
matpro98 ha scritto:Dai, con i medium non mi sono spinto fino al 2010... se proprio vuoi, ignorami allora ;)
Non parlavo con te, come ha chiaramente colto <enigma> (a cui posso solo rispondere: tsk...amateurs...)
4003 MESSAGGI!!1!!11!!!
AUGURI!!! <3 <3 <3 8===D





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Il mio compleanno è il 2 agosto. E anche quello di Maccio.

Questo forum non è abbastanza ENORME per tutti e due!

È sufficiente considerare un infinito non numerabile di infiniti numerabili di numeri non numerabili...non mi sembra difficile!

GLIEL'HO BUTTATO!

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