Qualcuno può controllarmi questo dimostrativo, per favore? (precisamente, è un Febbraio, del 2003)
"Dimostra che:
I: se un triangolo ha due altezze uguali, allora è isoscele;
II: se un triangolo ha due mediane uguali; allora è isoscele;
III: siano dati due punti $M$ ed $N$ sui lati $AB$ e $AC$ tali che $AM:AN=AB:AC$; supponendo $BN=CM$, dimostra che il triangolo è isoscele."
Nota: nei problemi ho sempre considerato A il vertice, mentre nei primi due ho considerato C a sinistra e B a destra, mentre ho fatto il contrario nel terzo.
Testo nascosto:
I:
Chiamiamo i piedi delle altezze $D$ ed $E$ rispettivamente ai vertici $B$ e $C$.
Dato che le altezze sono sempre perpendicolari al lato, abbiamo che gli angoli $ADB=CDB=AEC=BEC=90°$.
I triangoli $CDB$ e $CEB$ sono congruenti in quanto:
Gli angoli $CDB=BEC$ per costruzione;
$CB$ è base comune;
$DB=CE$ per ipotesi.
Ne consegue che $DC=EB$.
Inoltre, i triangoli $DAB$ e $CAE$ sono congruenti in quanto:
$ADB=AEC$ per costruzione;
$CAB$ è angolo comune;
$DB=EC$ per ipotesi.
Dunque $AD=AE$.
Ne consegue che $AD+DC=AE+EB$, dunque $AC=AB$. $q.e.d.$
II:
Chiamiamo i punti medi trovati rispettivamente $F$ e $G$, posti su $AC$ ed $AB$.
Data la proprietà del baricentro, abbiamo che $CH=2GH$e $BH=2FH$; ma essendo le due mediane uguali, vediamo che valgono anche le relazioni $CH=BH$ e $GH=FH$, perché $CH=2FH$ e $BH=2GH$.
I triangoli $FHC$ e $BHG$ sono congruenti in quanto:
$GH=FH$ per costruzione
$CH=BH$ per costruzione
Gli angoli $CHF$ e $BHG$ sono opposti al vertice.
Ne consegue che $CF=BG$.
Essendo CG e BF mediane, abbiamo $CF=FA$ e $BG=GA$; dunque $CF=GA$ e $FA=BG$, dunque i quattro segmenti son uguali, e quindi $CF+FA=BG+GA$ dunque $AC=AB$. $q.e.d.$
III:
La proporzione iniziale può esser riscritta come $AM:AN=AB:AC$, dunque i lati $AM-AN$ ed $AB-AC$ sono proporzionali tra loro.
Vediamo che i triangoli $BAN$ ed $MAB$ sono simili in quanto:
$CAB$ è angolo comune
$AM$ ed $AN$ sono proporzionali
$AB$ ed $AC$ sono proporzionali
Ne consegue che gli angoli $ABN=MCA$ e $AMC=ANB$.
Ma da questo ricaviamo che sono anche congruenti, infatti:
$BN=MC$ per ipotesi
Gli angoli $AMC=ANB$ per costruzione
Gli angoli $ABN=MCA$ per costruzione
Ne consegue che $AM=AN$.
Dunque $AM:AN=1$; dato che $AM:AN=AB:AC$, anche $AB:AC=1$, dunque $AB=AC$. $q.e.d.$
Re: Controllo esercizio
Inviato: 12 feb 2015, 23:21
da erFuricksen
Allora:
Nel primo punto io specificherei che il criterio di congruenza che adotti è valido solo perché i triangoli sono rettangoli.
Il secondo punto va bene direi.
Nel terzo punto, oltre ad aver confuso i nomi dei due triangoli all'inizio, hai considerato la proporzione come se fosse scambiata; quello che intendo è: la proporzione è $ AM : AN = AB : AC $, mentre tu la hai considerata come se fosse $ AN : AM = AB : AC $
Io ti proporrei di fare così:
nel primo punto lavora sulle aree, puoi dire che se $ h_1 = h_2 $ allora $ {A \over h_1} = {A \over h_2} $ e quindi $ l_1 = l_2 $
Nel terzo punto invece punta a dimostrare che MN e BC sono paralleli, il resto lo lascio fare a te
