Quando gli angoli sono uguali...

[matpro98]

Niente di che, è molto facile...
Dato un triangolo $\Delta ABC$, si considerino le rette $r,s,t$ rispettivamente per $A,B,C$ tali che $\angle (a,r)= \angle (b,s)= \angle (c,t)$. Dimostrare che il triangolo che si forma è simile ad $\Delta ABC$.

[erFuricksen]

Caso 1: r incontra il prolungamento di a, ecc
Chiamo X, Y, Z le intersezioni rispettivamente di (a,r), (b,s), (c,t) e poi chiamo D, E, F le intersezioni rispettivamente di (r,s), (s,t), (r,t) .
Considero i triangoli CFX e CBZ: C è opposto al vertice e X e Z sono congruenti per ipotesi, quindi $ \angle XFC = \angle CBZ $ quindi lo sono anche i loro supplementari $ \angle DFE = \angle CBA $. Se applico un ragionamento analogo agli altri vertici ottengo $ \triangle ABC \approx \triangle DEF $
Caso 2: r incontra il segmento a, ecc
Con nomenclature uguali al caso precedente, considero nuovamente i triangoli CFX e CBZ: C è in comune e X e Z sono congruenti per ipotesi, quindi $ \angle XFC = \angle CBZ $ , ma $ \angle XFC $ è opposto al vertice di $ \angle DFE $ quindi $ \angle DFE = \angle CBA $. Ancora, se applico un ragionamento analogo agli altri vertici ottengo $ \triangle ABC \approx \triangle DEF $