Incerchio, tangenti e rette isogonali

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Francesco Sala
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Iscritto il: 13 ago 2012, 21:16

Incerchio, tangenti e rette isogonali

Messaggio da Francesco Sala » 05 dic 2014, 17:11

In un triangolo $ ABC $, sia $ \omega $ l'incerchio e $ D,E,F $ i punti in cui questo tange $ BC,CA,AB $. Se $ EF $ incontra $ BC $ in $ L $ e $ N $ è il punto medio di $ DL $, supponiamo che la seconda tangente a $ \omega $ condotta da $ N $ incontri $ \odot(ABC) $ in $ X,Y $. Le tangenti da $ X,Y $ a $ \omega $ si incontrano in $ K $.
Dimostrare che $ \measuredangle BAD=\measuredangle CAK $.

Massimiliano
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Iscritto il: 18 mag 2018, 15:22

Re: Incerchio, tangenti e rette isogonali

Messaggio da Massimiliano » 14 set 2019, 18:05

Perdonate il necroposting di quasi cinque anni, ma un problema così carino merita di avere almeno una soluzione.
Testo nascosto:
Lemma 1. Sia [math] un triangolo e [math] un punto sulla sua circoscritta. Allora esistono due punti [math] tali che i triangoli [math] e [math] abbiano la stessa circonferenza inscritta [math].

Sia [math] l'incentro di [math]. Sia [math] la seconda intersezione di [math] con [math]. Siano [math] punti su [math] tali che [math]. Per incenter-excenter lemma, [math] è l'incentro di [math].

Siano [math] il circocentro di [math], [math] il raggio di [math], [math] e [math] i raggi delle inscritte a [math] e [math]. Si ha [math] e [math], dunque [math], quindi le inscritte ai due triangoli coincidono.

Lemma 2. [math].

Notiamo, per come sono costruiti [math] e [math] nel lemma 1, che il luogo dei punti di tangenza di [math] con [math] è [math] stessa. Dunque dati due punti [math] tali che [math] sia tangente all'inscritta di [math], esiste un punto [math] tali che [math] e [math] condividano la circonferenza inscritta. Applicando questo lemma con [math] e [math] si ha [math].

Siano [math] il punto in cui la retta [math] è tangente a [math], [math] l'excentro di [math] opposto ad [math], [math] l'excentro di [math] opposto a [math], [math] il punto medio di [math].

Lemma 3. [math] e [math] giacciono sulla retta [math].

Le rette [math], [math] e [math] concorrono nel punto di Gergonne di [math], dunque, per i teoremi di Ceva e Menelao, si ha [math], da cui [math].

Ne segue [math], quindi [math], ossia [math], ma [math], da cui [math]. Inoltre [math] e in maniera del tutto analoga si deduce [math].

Lemma 4. [math] è ciclico.

Siano [math] e [math]. Per incenter-excenter lemma, essi sono i punti medi dei segmenti [math] e [math], quindi [math]. Per il teorema di Reim, quindi, [math] è ciclico.

Lemma 5. [math] è il centro di una rotomotetia che manda [math] in [math] e [math] in [math].

Sia [math] tale che [math] e sia [math].

Notiamo che [math] e [math], da cui [math]. Poiché [math], si ha [math], da cui, per costruzione del centro di rotomotetia, [math] è ciclico. Detto [math] il punto medio di [math] si ha, per argomentazioni analoghe a quelle del lemma 4, che [math]. Dunque [math] è una delle due intersezioni della circonferenza [math], immagine di [math] dopo un'omotetia di centro [math] e fattore [math], e [math]. Tali intersezioni sono [math] e [math]. Ma è chiaro che [math], dunque [math] e [math].

Dal lemma 5 segue, chiaramente, l'isogonalità delle rette [math] e [math].

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