Angolazioni a colpi di baricentriche

[scambret]

Sia ABC triangolo, O circocentro, F piede della bisettrice interna, E piede della bisettrice esterna rispetto a A, M punto medio di BC e L punto medio di DE. Sia N l'intersezione tra la circoscritta a ABC e la circoscritta a ALO. Dimostrare che $\angle CAN=\angle BAM$

(Da fare con le baricentriche)

[Troleito br00tal]

Sia $\omega$ la circonferenza circoscritta ad $ABC$ e sia $\Gamma$ la circonferenza circoscritta a $EAF$, che è quindi di centro $L$. Sia $N'$ l'intersezione tra $\Gamma$ e $\omega$ diversa da $A$. $N'$ è sulla simmediana uscente da $A$: difatti $\Gamma$ è la circonferenza d'Apollonio dei punti $E$ ed $F$ passante per $A$.

Il nostro scopo è dimostrare che $N'=N$: invertiamo in $\Gamma$. Poiché $B$ va in $C$ (sono due angoli: $L \hat A B=L \hat M A - B \hat A M=\pi - A \hat B C - 2 B \hat A M = A \hat C B$) e $A$ sta in sé, allora $\Gamma$ e $\omega$ sono ortogonali. Quindi $O$ va nel punto medio di $AN'$, che sta proprio sulla simmediana. Ma $N$ sta sulla retta per $A$ e per l'inverso di $O$, quindi abbiamo finito.

[LucaMac]

Se in baricentriche si trova la circonferenza passante per $A$ , $L$ e l'intersezione tra la circoscritta ad $ABC$ e la simmediana da $A$ e si dimostra che $O$ appartiene a tale circonferenza , va bene come dimostrazione?