Quando la tripolare contiene il circocentro
Inviato: 24 nov 2014, 15:55
Sia dato un triangolo $ ABC $ con circocentro $ O $. Chiamiamo $ X,Y,Z $ i circocentri dei cerchi $ \odot(BOC),\odot(COA),\odot(AOB) $.
a) Dimostrare che le circonferenze $ \odot(AYZ),\odot(BXZ),\odot(CXY) $ concorrono in un punto $ V $.
b) Dimostrare che la tripolare di $ V $ rispetto ad $ ABC $ passa per $ O $.
NOTA: Se in un triangolo $ ABC $ prendiamo un punto $ P $, supponiamo che le rette $ AP,BP,CP $ incontrino $ BC,CA,AB $ in $ A_1,B_1,C_1 $; se $ B_1C_1 \cap BC=A_2 $ e analoghi, allora (per il teorema di Desargues sui due triangoli $ ABC $ e $ A_1B_1C_1 $) i punti $ A_2,B_2,C_2 $ sono allineati: tale retta si dice tripolare del punto $ P $ rispetto ad $ ABC $.
a) Dimostrare che le circonferenze $ \odot(AYZ),\odot(BXZ),\odot(CXY) $ concorrono in un punto $ V $.
b) Dimostrare che la tripolare di $ V $ rispetto ad $ ABC $ passa per $ O $.
NOTA: Se in un triangolo $ ABC $ prendiamo un punto $ P $, supponiamo che le rette $ AP,BP,CP $ incontrino $ BC,CA,AB $ in $ A_1,B_1,C_1 $; se $ B_1C_1 \cap BC=A_2 $ e analoghi, allora (per il teorema di Desargues sui due triangoli $ ABC $ e $ A_1B_1C_1 $) i punti $ A_2,B_2,C_2 $ sono allineati: tale retta si dice tripolare del punto $ P $ rispetto ad $ ABC $.