Rapporti costanti e cerchio di Brocard

[Francesco Sala]

In un triangolo $ ABC $ consideriamo tre punti $ A_1,B_1,C_1 $ su $ BC,CA,AB $; definiamo $ A_2=CC_1\cap BB_1 $ e analogamente $ B_2,C_2 $.
a) Dimostrare che i cerchi $ \odot(BCA_2),\odot(CAB_2),\odot(ABC_2) $ concorrono in un punto $ M $.
b) Supponiamo che $ \displaystyle{\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{CB_1}{AB_1}=\frac{AC_1}{BC_1}} $: dimostrare che in tal caso il coniugato isogonale del punto $ M $ rispetto ad $ ABC $ appartiene al cerchio di Brocard del triangolo.

NOTA: Il cerchio di Brocard di un triangolo è quello che ha diametro $ OK $, dove $ O $ è il circocentro e $ K $ il punto di Lemoine