Tanti , forse troppi, punti...

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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LucaMac
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Tanti , forse troppi, punti...

Messaggio da LucaMac »

Ecco un altro problema simile agli ultimi pubblicati (ma leggermente più complicato.. :roll: )
Sia $ABC$ un triangolo non isoscele , sia $I$ il suo incentro. Rispettivamente su $BC,AC,AB$ i punti di tangenza dell'incerchio sono $A_1 , B_1 , C_1$ . La retta $AI$ interseca la circoscritta ad $ABC$ (oltre che in $A$) in $A_2$ . La retta $B_1C_1$ interseca la retta $BC$ in $A_3$ . La retta $A_2A_3$ interseca la circoscritta ad $ABC$ (oltre che in $A_2$) in $A_4$ . Si definiscano similmente $B_4$ e $C_4$. Dimostrare che $AA_4 , BB_4 , CC_4 $ concorrono. :lol:
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Kfp
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Re: Tanti , forse troppi, punti...

Messaggio da Kfp »

Di sicuro ho fatto più typo qua che in tutta la mia vita
Testo nascosto:
Iniziamo col calcolare $\frac{A_{4}B}{A_{4}C}$. Dalle similitudini di $\Delta A_{3}BA_{4}$ e $\Delta A_{3}CA_{2}$ ricaviamo:
$$BA_{4}=CA_{2} \frac{BA_{3}}{A_{3}A_{2}}$$
e simmetricamente
$$CA_{4}=BA_{2} \frac{CA_{3}}{A_{3}A_{2}}$$
Da cui
$$\frac{A_{4}B}{A_{4}C}=\frac{A_{3}B}{A_{3}C}$$
Ora, dal teorema dei seni su $\Delta A_{3}BC_{1}$ si ricava (poste $l_{A}$ e cicliche le lunghezze dei segmenti di tangenza del triangolo $\Delta ABC$):
$$\frac{BA_{3}}{ \sin{\frac{\pi - \alpha}{2}}}= \frac{l_{B}}{\sin{\frac{\beta - \gamma}{2}}}$$
e simmetricamente
$$\frac{CA_{3}}{ \sin{\frac{\pi + \alpha}{2}}}= \frac{l_{C}}{\sin{\frac{\beta - \gamma}{2}}}$$
Da cui
$$\frac{A_{4}B}{A_{4}C}=\frac{A_{3}B}{A_{3}C}=\frac{l_{B}}{l_{C}}$$

A questo punto basta notare che

$$\frac{\sin{\widehat{BAA_{4}}}}{\sin{\widehat{A_{4}AC}}}=\frac{A_{4}B}{A_{4}C}=\frac{l_{B}}{l_{C}}$$

per concludere con Ceva trigonometrico.
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LucaMac
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Re: Tanti , forse troppi, punti...

Messaggio da LucaMac »

Dovrebbe essere giusta :D (e più pulita della mia...)
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