?Solite rette con gli excentri
Re: Solite rette con gli excentri
Tu ti fideresti di quel conto ?
?"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
Re: Solite rette con gli excentri
Nota anche che se i tuoi conti sono corretti dalla prima colonna puoi semplificare un $p-a$, dalla seconda un $p-b$ e dalla terza un $p-c$. Difatti facendo un multiplo di una colonna il determinante si moltiplica per una costante, ma la sua zerezza o non-zerezza non cambia. È solo un dettaglio, ma semplifica un pochino quel determinante che ti preoccupava.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Re: Solite rette con gli excentri
Eh infatti, sembra una cosa abbastanza simmetrica, forse riesci anche a trovare il punto senza enormi fatiche...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Solite rette con gli excentri
Provo con una soluzione sintetica:
Chiamo $ \alpha, \beta, \gamma $ gli angoli in A, B, C. Sappiamo $ I_ACQ=I_ACB=\frac{\pi - \gamma}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2} $ e $ PBI_A=I_ABC=\frac{\alpha + \gamma}{2} $ dal fatto che $ BI_A $ e $ CI_A $ sono bisettrici degli angoli esterni. $ API_AQ $ è ciclico dato che $ I_AQ \perp AC $ e $ I_AP \perp AB $. Da questo $ \frac{\alpha}{2}=PAI_A=I_APQ=I_AQP $. $ CI_AQ=\frac{\gamma}{2} $ perchè complementare di $ I_ACQ=\frac{\pi - \gamma}{2} $. Con lo stesso ragionamento $ BI_AP=\frac{\beta}{2} $. Usando il teorema dell'angolo esterno su $ I_AQE $ e considerando $ I_AED $ l'angolo esterno $ I_AED=\frac{\alpha + \gamma}{2} $, per gli stessi motivi $ I_ADE=\frac{\alpha + \beta}{2} $. $ I_ADCQ $ è ciclico perchè $ I_ACQ = I_ADQ $ e insistono tutti e due su $ I_AQ $. Da questo ricavo $ CDQ=CI_AQ=\frac{\gamma}{2} $ e dalla ciclicità di $ I_APBE $(che si ottiene da considerazioni simili a quelle già fatte per $ I_AQCD $) $ PEB=PI_AB=\frac{\beta}{2} $. Ora guardo $ DECB $: è ciclico perchè $ BDE $ è supplementare di $ \frac{\alpha+\beta}{2} $, che sarebbe $ ECB $, essendo quest'ultimo uguale a $ I_ACQ $. Quindi $ DCB=DEB=\frac{\beta}{2} $ quindi $ DC \parallel BI $ (I è l'incentro) perchè formano angoli alterni interni rispetto a $ BC $; $ CDE=EBC=\frac{\gamma}{2} $ e $ EB\parallel CI $. Il fatto vale anche per le costruzioni di $ B_1 $ e $ C_1 $. $ A_1CIB $ è un parallelogramma e allora $ CA_1=BI $, $ AC_1BI $ è un parallelogramma:$ C_1A=BI $. Deduciamo che $ AC_1A_1C $ è un parallelogramma(ha la coppia di lati $ AC_1 $ e $ CA_1 $ paralleli e congruenti perchè lo erano con $ BI $). $ CC_1 $ e $ AA_1 $ si incontrano nel punto medio di $ CC_1 $, ma considerando il parallelogramma $ BC_1B_1C $, $ BB_1 $ e $ CC_1 $ si incontrano nello stesso punto medio di $ CC_1 $ da dove passava $ AA_1 $.
Che ne dite? è giusta?
Chiamo $ \alpha, \beta, \gamma $ gli angoli in A, B, C. Sappiamo $ I_ACQ=I_ACB=\frac{\pi - \gamma}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2} $ e $ PBI_A=I_ABC=\frac{\alpha + \gamma}{2} $ dal fatto che $ BI_A $ e $ CI_A $ sono bisettrici degli angoli esterni. $ API_AQ $ è ciclico dato che $ I_AQ \perp AC $ e $ I_AP \perp AB $. Da questo $ \frac{\alpha}{2}=PAI_A=I_APQ=I_AQP $. $ CI_AQ=\frac{\gamma}{2} $ perchè complementare di $ I_ACQ=\frac{\pi - \gamma}{2} $. Con lo stesso ragionamento $ BI_AP=\frac{\beta}{2} $. Usando il teorema dell'angolo esterno su $ I_AQE $ e considerando $ I_AED $ l'angolo esterno $ I_AED=\frac{\alpha + \gamma}{2} $, per gli stessi motivi $ I_ADE=\frac{\alpha + \beta}{2} $. $ I_ADCQ $ è ciclico perchè $ I_ACQ = I_ADQ $ e insistono tutti e due su $ I_AQ $. Da questo ricavo $ CDQ=CI_AQ=\frac{\gamma}{2} $ e dalla ciclicità di $ I_APBE $(che si ottiene da considerazioni simili a quelle già fatte per $ I_AQCD $) $ PEB=PI_AB=\frac{\beta}{2} $. Ora guardo $ DECB $: è ciclico perchè $ BDE $ è supplementare di $ \frac{\alpha+\beta}{2} $, che sarebbe $ ECB $, essendo quest'ultimo uguale a $ I_ACQ $. Quindi $ DCB=DEB=\frac{\beta}{2} $ quindi $ DC \parallel BI $ (I è l'incentro) perchè formano angoli alterni interni rispetto a $ BC $; $ CDE=EBC=\frac{\gamma}{2} $ e $ EB\parallel CI $. Il fatto vale anche per le costruzioni di $ B_1 $ e $ C_1 $. $ A_1CIB $ è un parallelogramma e allora $ CA_1=BI $, $ AC_1BI $ è un parallelogramma:$ C_1A=BI $. Deduciamo che $ AC_1A_1C $ è un parallelogramma(ha la coppia di lati $ AC_1 $ e $ CA_1 $ paralleli e congruenti perchè lo erano con $ BI $). $ CC_1 $ e $ AA_1 $ si incontrano nel punto medio di $ CC_1 $, ma considerando il parallelogramma $ BC_1B_1C $, $ BB_1 $ e $ CC_1 $ si incontrano nello stesso punto medio di $ CC_1 $ da dove passava $ AA_1 $.
Che ne dite? è giusta?
Re: Solite rette con gli excentri
Rilancio: sia $H_A$ l'intersezione di $I_AA_1$ e $BC$. $H_B, H_C$ definiti similmente. Dimostrare che $AH_A$ e cicliche concorrono.