Siano $\omega$ una circonferenza e $B$ e $C$ due punti esterni ad essa.
Sia $\gamma$ una circonferenza passante per $B$ e $C$ e tangente a $\omega$ in $T$; sia $M$ il punto medio dell'arco $BC$ di $\gamma$.
Siano $P$ e $Q$ i punti di tangenza delle tangenti rispettivamente da $B$ e $C$ a $\omega$.
Tesi: $BC$, $MT$, $PQ$ concorrono.
Problemi di configurazione: Ci sono configurazioni in cui la concorrenza della tesi è falsa. Se avete dubbi, potete usare la configurazione data dal testo originale che trovate su mathlinks. (http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 50d70e9b8e)
Fonte: China TST 2007\quiz3\1
Discussione sui problemi di configurazione (metto in testo nascosto perchè dà un aiuto a risolvere il problema):
Testo nascosto:
Dati $B$, $C$ e $\omega$, esistono due circonferenze $\gamma_1$ e $\gamma_2$ con i rispettivi punti di tangenza $T_1$ e $T_2$; su ciascuna di queste due circonferenze posso scegliere due punti medi degli archi $BC$, ottenendo così le quattro bisettrici in $T_1$ e $T_2$ dei triangoli $T_1BC$ e $T_2BC$. Si ha che queste 4 bisettrici concorrono a due a due con $BC$ in due punti $X$ e $Y$.
Inolte esistono due rette tangenti da $B$ e due da $C$ ad $\omega$, che danno luogo a quattro punti di tangenza $P_1$, $P_2$ (da $B$) e $Q_1$, $Q_2$ (da $C$). Questi punti di tangenza possono essere congiunti a formare le quattro rette $P_1Q_1$, $P_1Q_2$, $P_2Q_1$ e $P_2Q_2$. Si ha che $P_1Q_1$, $P_2Q_2$ e $BC$ concorrono, e analogamente $P_1Q_2$, $P_2Q_1$ e $BC$ concorrono. Questi due punti di concorrenza sono proprio $X$ e $Y$ (in qualche ordine).