Direi questo: siano $PX$, $PY$ e $PZ$ le nostre corde, voglio mostrare che mi conviene metterle complanari. Supponiamo non lo siano, sia allora $\Omega$ il piano per $XYZ$ e $\Sigma$ il piano del soffitto, posso ruotare rigidamente le corde e preservare $XYZ$ e mandare $\Omega $ parallelo a $\Sigma$. Proietto ora $XYZ$ su $\Sigma$ ottenendo un triangolo $X'Y'Z'$ uguale a $XYZ$ (per il parallelismo tra i due piani). Siano $\alpha:=\angle XPX'$ e ciclici, vale $PX'=\cos \alpha \cdot PX$ e ciclici. Considero ora su $\Sigma$ il triangolo $X''Y''Z''$ dove $PX''$ (e ciclici) giace su $PX'$ ed è uguale a $PX$ in lunghezza ; se $\alpha ^2+\beta ^2+\gamma^2 \neq 0$ almeno uno fra $PX''$, $PY''$ e $PZ''$ è maggiore sttrretto del rispettivo segmento apiciato (esiste?) una sola volta. Dunque il triangolo $X''Y''Z''$ contiene strettamente il triangolo $X'Y'Z'$ che era uguale a $XYZ$. Dunque il triangolo massimo deve avere $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ tutti nulli.
Portata la situazione sul piano il problema è chiaro, dobbiamo massimizzare l' area di $XYZ$ al variare degli angoli fra $\angle XPY=z$, $\angle YPZ=x$ e $\angle ZPX=y$. L' area in funzione di $x,y,z$ è:
$$
f(x,y,z)=65\cdot 65\cdot \sin x+65\cdot 119\cdot\sin y+119\cdot65\cdot \sin z
$$
col vincolo $g(x,y,z)=x+y+z=2\pi$. Ora viene la parte che ho "fatto" in maniera bovina e che spero si possa fare in maniera più carina. Verrebbe da dire che in un minimo si debba avere (per simmetria) $y=z$. La cosa è vera, per provarlo si può impostare il sistema $\nabla f=\lambda \nabla g$; sappiamo che il punto stazionario è un max locale perchè sul bordo $f$ fa zero e in generale rappresenta un' area quindi meno di zero non può fare ed esistono valori per i quali è positiva (ovviamente). Da quel sistema ricaviamo in particolare che in un max locale vale: $65\cdot 119\cdot \cos y =\lambda = 119\cdot 65\cdot \cos z$ da cui $y=z$ (altrimenti se $y=2\pi-z$ avremmo $x=0$ da cui $f=0$). Considero ora:
$$
h(x,y)=f(x,y,y)=65\cdot 65\cdot \sin x+130\cdot 119\cdot\sin y\qquad \qquad x+2y=2\pi
$$
Un minimo di $h$ sarà anche un minimo per $f$ e per l' osservazione fatta vale il viceversa, cioè un minimo per $f$ deve essere (poichè è simmetrico in $y=z$) un minimo per $h$.
Per il minimo di $h$ si può sostituire il vincolo e viene una cosa "calcolabile":
$$
\varphi(y)=-65\cdot 65\cdot \sin 2y+130\cdot 119\cdot\sin y
$$
azzerando senza troppe storie la derivata abbiamo:
$$
\varphi'(y)=-2\cdot 65\cdot 65\cdot \cos 2y+130\cdot 119\cdot\cos y=0\qquad \Leftrightarrow\qquad 119\cdot \cos y=65\cdot (2\cos^2 y-1)
$$
da cui ottengo che l' unica soluzione accetabile è $\cos y=-5/13$.
Se ora si sostituisce questo dato nella $\varphi$ si ottiene proprio $17280$
(che è il doppio della risposta perchè fin dall' inizio manca un diviso due davanti). A dire il vero questo conto l' ho fatto con WA ma in realtà viene bene anche a mano, affinché non ci siano dubbi :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=- ... 2F13%29%29