72. Corde del male

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andrew24x
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72. Corde del male

Messaggio da andrew24x » 27 apr 2014, 20:57

Siano date 3 corde lunghe 65,65,119 appese al punto $P$ di un soffitto. Si trovi l'area del triangolo di area massima che si può formare con le tre estremità libere al variare delle posizioni delle corde nello spazio.

BorisM
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Re: 72. Corde del male

Messaggio da BorisM » 29 apr 2014, 22:52

Il triangolo di area massima sarà quello che ha le corde da 65 "attaccate" al soffitto da parti opposte mentre quella da 119 "penzolerà" perpendicolarmente al soffitto.
Volendo formare la base $AB$ per mezzo degli estremi (supponendo per assurdo di poter posizionare la corda da 119 in modo tale che l' altezza sia proprio 119) sappiamo per il teorema di Carnot che $AB^2=65^2+65^2-2* 65^2 *cos X $ Con $ 0\leq x \leq 180°$
Quindi capiamo bene che la base è massima per $x=180°$.
Volendo formare la base con una corda da 65 ed quella da 119 in modo quindi che la base sia $119+65=184$ e lasciando penzolare la corda dal soffitto in quanto detto $y$ l' angolo formato dal soffitto e dalla stremità dalla seconda corda da $65$ sarà che l' altezza $CH= 65 sen y$ e poichè $ 0\leq y \leq 90$ $CH$ sarà massimo quando $y=90$
otteniamo che l' area è $92 * 65$ ma quest' area è minore di $ 65* 119$ (area del triangolo di partenza).
L' area massima è quindi quella del triangolo detto in partenza. In particolare $A=65*119=7735$

Spero di non aver tirato sfondoni. Perdonatemi se ho scritto le misure degli angoli in gradi poco elegantemente ma sono ancora alle prime armi con il latex :oops:

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Kfp
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Re: 72. Corde del male

Messaggio da Kfp » 29 apr 2014, 23:39

Fai l'errore seguente: ti preoccupi di massimizzare la base, e supponi che questo basti a massimizzare l'area del triangolo. In realtà non è così, perchè fissata una base il valore massimo dell'altezza è vincolato ed è tranquillamente possibile che questo sia maggiore di 119. Ad esempio, metti le tre corde complanari con angoli di 120° tra di loro: l'altezza riferita alla "base" (cioè il terzo lato nel triangolo isoscele coi lati uguali di 65) è più grande di 119. Infatti, l'area massima è un'altra.
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BorisM
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Re: 72. Corde del male

Messaggio da BorisM » 30 apr 2014, 15:17

Hai ragione. il mio errore è stato quello di considerare solo i triangoli che avrebbero potuto formarsi su un piano perpendicolare al soffitto passante per P :mrgreen:
Ecco perchè mi sembrava troppo facile :mrgreen:
Sto cercando di impostare una funzione ma non riesco a farla in una sola variabile. Ci penserò un altro pò :)

nassus95
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Re: 72. Corde del male

Messaggio da nassus95 » 02 mag 2014, 17:51

Testo nascosto:
8640?

andrew24x
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Re: 72. Corde del male

Messaggio da andrew24x » 02 mag 2014, 18:06

Ehhhhhhm...si; ora però ci vuole la dimostrazione :D

machete
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Re: 72. Corde del male

Messaggio da machete » 04 mag 2014, 18:53

Direi questo: siano $PX$, $PY$ e $PZ$ le nostre corde, voglio mostrare che mi conviene metterle complanari. Supponiamo non lo siano, sia allora $\Omega$ il piano per $XYZ$ e $\Sigma$ il piano del soffitto, posso ruotare rigidamente le corde e preservare $XYZ$ e mandare $\Omega $ parallelo a $\Sigma$. Proietto ora $XYZ$ su $\Sigma$ ottenendo un triangolo $X'Y'Z'$ uguale a $XYZ$ (per il parallelismo tra i due piani). Siano $\alpha:=\angle XPX'$ e ciclici, vale $PX'=\cos \alpha \cdot PX$ e ciclici. Considero ora su $\Sigma$ il triangolo $X''Y''Z''$ dove $PX''$ (e ciclici) giace su $PX'$ ed è uguale a $PX$ in lunghezza ; se $\alpha ^2+\beta ^2+\gamma^2 \neq 0$ almeno uno fra $PX''$, $PY''$ e $PZ''$ è maggiore sttrretto del rispettivo segmento apiciato (esiste?) una sola volta. Dunque il triangolo $X''Y''Z''$ contiene strettamente il triangolo $X'Y'Z'$ che era uguale a $XYZ$. Dunque il triangolo massimo deve avere $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ tutti nulli.

Portata la situazione sul piano il problema è chiaro, dobbiamo massimizzare l' area di $XYZ$ al variare degli angoli fra $\angle XPY=z$, $\angle YPZ=x$ e $\angle ZPX=y$. L' area in funzione di $x,y,z$ è:
$$
f(x,y,z)=65\cdot 65\cdot \sin x+65\cdot 119\cdot\sin y+119\cdot65\cdot \sin z
$$
col vincolo $g(x,y,z)=x+y+z=2\pi$. Ora viene la parte che ho "fatto" in maniera bovina e che spero si possa fare in maniera più carina. Verrebbe da dire che in un minimo si debba avere (per simmetria) $y=z$. La cosa è vera, per provarlo si può impostare il sistema $\nabla f=\lambda \nabla g$; sappiamo che il punto stazionario è un max locale perchè sul bordo $f$ fa zero e in generale rappresenta un' area quindi meno di zero non può fare ed esistono valori per i quali è positiva (ovviamente). Da quel sistema ricaviamo in particolare che in un max locale vale: $65\cdot 119\cdot \cos y =\lambda = 119\cdot 65\cdot \cos z$ da cui $y=z$ (altrimenti se $y=2\pi-z$ avremmo $x=0$ da cui $f=0$). Considero ora:
$$
h(x,y)=f(x,y,y)=65\cdot 65\cdot \sin x+130\cdot 119\cdot\sin y\qquad \qquad x+2y=2\pi
$$
Un minimo di $h$ sarà anche un minimo per $f$ e per l' osservazione fatta vale il viceversa, cioè un minimo per $f$ deve essere (poichè è simmetrico in $y=z$) un minimo per $h$.
Per il minimo di $h$ si può sostituire il vincolo e viene una cosa "calcolabile":
$$
\varphi(y)=-65\cdot 65\cdot \sin 2y+130\cdot 119\cdot\sin y
$$
azzerando senza troppe storie la derivata abbiamo:
$$
\varphi'(y)=-2\cdot 65\cdot 65\cdot \cos 2y+130\cdot 119\cdot\cos y=0\qquad \Leftrightarrow\qquad 119\cdot \cos y=65\cdot (2\cos^2 y-1)
$$
da cui ottengo che l' unica soluzione accetabile è $\cos y=-5/13$.
Se ora si sostituisce questo dato nella $\varphi$ si ottiene proprio $17280$ :D (che è il doppio della risposta perchè fin dall' inizio manca un diviso due davanti). A dire il vero questo conto l' ho fatto con WA ma in realtà viene bene anche a mano, affinché non ci siano dubbi :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=- ... 2F13%29%29
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Re: 72. Corde del male

Messaggio da andrew24x » 05 mag 2014, 15:05

Ok è giusto. Comunque quella parte poteva venire considerando che per ogni lato formato da due corde, la terza si puó ruotare in modo da essere perpendicolare alla retta formata dalle estremità delle altre due in modo da massimizzare l'
area; in questo modo veniva un punto con le sue tre proiezioni all interno del triangolo formato dalle parallele ai lati, e con una similitudine e pitagora si concludeva.

machete
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Re: 72. Corde del male

Messaggio da machete » 05 mag 2014, 19:50

Della serie "accendere il cervello può far risparmiare tempo" :) vabbè l' avevo detto che era una bovinata :) vado col prossimo allora! (che honore!)
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