Il compleannamento

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karlosson_sul_tetto
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Il compleannamento

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 09 nov 2013, 21:29

(Dedico questo mio 1000° post ad una persona molto speciale...che sarà menzionata anche successivamente nel testo; il problema è inventato da me in un lungo sabato sera, credo facile e spero scritto bene; ma è a scopo commemorativo, quindi fottesega)

Oggi è il compleanno di Alberto, che per festeggiare ha invitato a casa sua sua nonna Barbaro e la sua cara amica Giovanna Lale detta Giò.
Tra i tanti regali-funzionali che riceve, c'è anche un bellissimo gufetto con la maglia (con ovviamente il testo di una funzionale cinese). Questi però, per sbaglio, beve da una brocca d'acqua in cui è stato aggiunto del tabasco e indignato se ne vola via. I tre, allora, si precipitano a riprenderlo: vivono infatti su un isola circolare di raggio $r$ e di centro $O$ in cui vi è una folta foresta chiamate Tricase per i suoi tre abitanti. Il lago che circonda l'isola, chiamato Ricadelcapo, ha acque fredde (ma non ghiacciate), naturali e aspre come un limone, per questo si è certi che il gufo non abbia lasciato l'isola e visitato tali ambienti acquatici ostili. Ognuno torna alla propria casa (tranne Alberto, perché la festa è stata a casa sua, ovvero nel punto $A$)e sale sul tetto, dal quale può vedere tutta l'isola. Tutte e tre sono situate sul confine delle acque Ricadelcapo. Si sa che la casa della nonna Barbaro situata nel punto $B$ dista $\frac{r}{3}$ dalla casa di Giò, situata nel punto $C$ e che $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli del triangolo $ABC$ in quest'ordine.
Lale Giò scorge subito il Gufo, situato nel punto $G$, e nota che l'angolo $\angle GCA=\alpha$. La nonna Barbaro, avendo una vista non troppo buona a causa dell'età, con complicatissimi calcoli astrologici giunge alle seguenti conclusioni: se $M$ è una delle due intersezioni della retta $OG$ con il perimetro dell'isola, $t$ la tangente in $M$ e $P$ l'intersezione della retta $AB$ con $t$, allora i triangoli $GPA$ e $GPB$ sono simili.
Quanto vale l'angolo $\angle GBA$? Qual è la distanza tra Alberto e il gufo?
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scambret
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Re: Il compleannamento

Messaggio da scambret » 10 nov 2013, 01:02

OT: hai dedicato il tuo 1000.esimo messaggio a me??
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karlosson_sul_tetto
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Re: Il compleannamento

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 10 nov 2013, 11:36

scambret ha scritto:OT: hai dedicato il tuo 1000.esimo messaggio a me??
Momento di commozione <3
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<3

Comunque ora come ora mi accorgo di un piccolo problema di configurazione, ovvero quando $t$ è parallelo ad $AB$, in questo caso l'intersezione $P$ non è definita....ma chissene.
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matpro98
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Re: Il compleannamento

Messaggio da matpro98 » 30 lug 2014, 20:12

Ci stavo provando, ma mi sono bloccato... un hint?

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karlosson_sul_tetto
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Re: Il compleannamento

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 07 ago 2014, 08:23

Scusa per il ritardo, mi ero dimenticato di questo post xD
Allora, la cosa fondamentale è trovare il punto G, dopo il problema diventa facile; le condizioni che hai sono 1) sta dentro l'isola 2) Si trova sulla semiretta che forma un'angolo $ \alpha $ con il segmento AC 3) il terso dato lo puoi ricavare unicamente con le informazioni di nonna barbaro e
Testo nascosto:
Ricava dalla similitudine una proporzione e guarda se ti ricorda qualcosa
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NoAnni
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Re: Il compleannamento

Messaggio da NoAnni » 07 ago 2014, 11:27

karlosson_sul_tetto ha scritto:Allora, la cosa fondamentale è trovare il punto G, dopo il problema diventa facile
D:
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Re: Il compleannamento

Messaggio da matpro98 » 07 ago 2014, 19:54

Ci provo

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Re: Il compleannamento

Messaggio da matpro98 » 07 ago 2014, 20:23

Sospettando di aver sbagliato qualcosa, ti chiedo: $\angle{GBA}=\alpha$ e $AG=r/3$?

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Re: Il compleannamento

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 07 ago 2014, 21:26

Esattamente :D
PS: se metti insieme le soluzioni capirai perché è dedicato a scambret
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Re: Il compleannamento

Messaggio da matpro98 » 07 ago 2014, 22:06

Appena ho tempo posto la dimostrazione... nel testo ho notato tanti riferimenti a lui, ma nella soluzione mi mancano tre lettere e non capisco a cosa serva la frazione... per caso "/3" si legge "ano"? (Per gli admin, il riferimento non è voluto, ma dettato dal cognome di scambret)

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Re: Il compleannamento

Messaggio da matpro98 » 08 ago 2014, 19:22

Allora... $\angle{GBA}=\alpha$ quindi $CG//AB$. Adesso, per la similitudine, abbiamo che $GP:BP=PA:PG$ (va detto perché sono quelli i lati omologhi?) e quindi $PA*PB=PG^2$, che equivale a $pow(P)=PG^2$, ma, poiché $PM$ è tangente, $pow(P)=PM^2, PG^2=PM^2, PG=PM$. Da ciò abbiamo che $\Delta PGM$ è isoscele, ma l'angolo in $M$ è retto, quindi $M=G$, da cui le due soluzioni banalmente.

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Re: Il compleannamento

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 08 ago 2014, 20:22

matpro98 ha scritto:Adesso, per la similitudine, abbiamo che $GP:BP=PA:PG$ (va detto perché sono quelli i lati omologhi?) .
Penso sia abbastanza ovvio, al massimo se vuoi puoi giustificarlo con una modifica de "ad angolo uguale corrisponde lato uguale" :)

P.S. se vuoi fare il figo per le moltiplicazioni è meglio $\cdot$ di $*$ ( \cdot ), anche se probabilmente lo sapevi già
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Re: Il compleannamento

Messaggio da matpro98 » 08 ago 2014, 20:34

karlosson_sul_tetto ha scritto: P.S. se vuoi fare il figo per le moltiplicazioni è meglio $\cdot$ di $*$ ( \cdot ), anche se probabilmente lo sapevi già
Veramente no, grazie XD

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