Massimizzare perimetro

[Albertobucci95]

Scusate, è un po di tempo che mi chiedevo come dimostrare che preso un quadrilatero $ ABCD $ con diagonali perpendicolari e congruenti il perimetro massimo si ha quando $ A $coincide con $ B $ (triangolo rettangolo isoscele) sono solo convinto che sia così!!

[Tess]

Beh, provi ad algebrizzarlo!
Le diagonali sono entrambe lunghe $l$, poni 2 variabili ciascuna che identifica la lunghezza di un pezzo di diagonale, in base a come è divisa dall'altra.
Allora è facile calcolare la lunghezza dei lati.
Ora devi massimizzare la loro somma. E qui serve un po' di teoria sulle disuguaglianze. In questo caso noti che la funzione è convessa, il che ti dice che il massimo devi cercarlo nei casi estremali... Certo, puoi anche elevare al quadrato stando bene attento a selezionare i giusti termini.. ma ciò è equivalente.

[Albertobucci95]

Allora, io volevo risolverlo per via geometrica se possibile, comunque sennò volevo chiederti se durante una gara si può scrivere che la funzione è convessa ecc. ecc.? Perchè io ancora le faccio quelle cose

[Tess]

volevo chiederti se durante una gara si può scrivere che la funzione è convessa ecc. ecc

Cosa vuol dire? Che tipo di gara? Se devi dimostrare qualcosa, certo che puoi scriverlo! Ma devi anche arrivare da qualche parte.

Per esempio, in questo caso cosa devi massimizzare? Prova a scrivere la funzione.

P.s. per via geometrica fai sostanzialmente gli stessi passaggi che faresti con la versione algebrizzata.

[Gottinger95]

Dai, provo io:

Testo nascosto:

Sia \(f(a,b)\) il perimetro del suddetto quadrilatero. Uso il simbolo \(g_1(a,b) \sim g_2(a,b)\) per dire che il massimo di \(g_1(a,b)\) si ottiene in corrispondenza del massimo di \(g_2(a,b)\). Si ha
\(f(a,b) \sim f(a,b) / l = \sqrt{(a/l)^2+(b/l)^2}+\sqrt{(a/l)^2+(1-b/l)^2}+ \sqrt{(1-a/l)^2+(b/l)^2}+\sqrt{(1-a/l)^2+(1-b/l)^2}\)
Chiamo \(x=a/l, y=b/l\), e \(T_1, \ldots, T_4\) gli argomenti delle radici. Indico con \(M_p(T_1, \ldots, T_4)\) la media \(p\)-esima di \(T_1, \ldots, T_4\). Abbiamo:
\(\displaystyle f(a,b) \sim \frac{f(a,b)^2}{16l^2} = \left ( \frac{\sum_{i=1}^4{\sqrt{T_i} } }{4} \right ) ^ 2 = M_{1/2}(T_1, \ldots,T_4) \leq M_1(T_1, \ldots, T_4) \) =
\(\displaystyle = 4[x^2+y^2+1-(x+y)] \sim x^2+y^2 -(x+y) = S^2-S-2P\)
dove \(S=x+y\), \(P=xy\). I valori estremali di \(H(S,P) = S^2-S-2P\) si ottengono in corrispondenza di \(x=0\) oppure \(x=y\). Questo è noto, ma se qualcuno lo vuole sapere lo può chiedere
Se \(x=0\), abbiamo \(f(a,b) \sim x^2+y^2-(x+y) = y^2-y \); se \(x=y\) abbiamo \(f(a,b) \sim 2(y^2-y) \sim y^2-y\). Per fortuna sono le stesse funzioni
Visto che \(x,y \in [0,1]\), vale sempre \(y^2-y \leq 0\); perciò il massimo si ottiene per \(y=0\). In entrambi i casi, il massimo si ottiene per \(a=b=0\).

[maurizio43]

Messaggio annullato

[maurizio43]

Salve , volevo indicare una soluzione esclusivamente per via geometrica al quesito del massimo perimetro, come richiesto da albertobucci95

Consideriamo due segmenti DB e AC” di uguale lunghezza e intersecantisi perpendicolarmente tra loro.
Essi sono le 2 diagonali di ABC”D , generico quadrilatero di quelli previsti nell’enunciato.
Una infinità di tali quadrilateri si può ottenere tenendo fisso DB e facendo scorrere a piacere AC” lungo la propria retta.
Una infinità del secondo ordine si ottiene da ognuno dei casi precedenti facendo scorrere C”A perpendicolarmente all’ altra diagonale DB .
Mantenendo la convessità del quadrilatero il limite di questi scorrimenti si ottiene portando A a coincidere con B e ottenendo
il triangolo rettangolo DBC ( di cui indicheremo con BH l’altezza relativa a DC) .
Dobbiamo dimostrare che il perimetro di questo triangolo ha lunghezza maggiore di quella del perimetro di ogni quadrilatero ABC”D .
- Caso particolare :
Consideriamo tutti i quadrilateri A’BC’D ottenuti mantenendo C’ giacente sul segmento CD .
Un generico A’BC’D ha : A’B = C’C perché lati opposti nel parallelogramma A’BCC’
C’B < CB perché ipotenuse di triangoli rettangoli aventi cateto BH in comune e cateto HC’ < HC
A’D < DB per analogo motivo
Ne consegue la voluta diseguaglianza tra i 2 perimetri : A’B+BC’+C’D+DA’ < BC+CC’+C’D+DB

- Caso generale : Nel quadrilatero ABC”D chiamiamo :
e , f le lunghezze dei 2 tratti in cui la diagonale DB viene divisa da AC”
g , h le lunghezze dei 2 tratti in cui la diagonale AC” viene divisa da DB
Applicando 4 volte il teorema di Pitagora otteniamo :
Area del quadrato costruito su DC” = e.e + h.h
Area del quadrato costruito su DA = e.e + g.g
Area del quadrato costruito su BC” = f.f + h.h
Area del quadrato costruito su AB = f.f + g.g
Cioè la somma dei quadrati dei 4 lati è pari a : 2 (e.e + f.f + g.g + h.h)
Nel triangolo rettangolo BCD risulta :
Area del quadrato costruito su DC = (e+f)(e+f) + (g+h)(g+h)
Cioè la somma dei quadrati costruiti sui 3 lati è pari a : 2 (e+f)(e+f) + 2 (g+h)(g+h)

Quindi la somma dei quadrati dei 3 lati di BCD è sempre maggiore della somma dei quadrati dei 4 lati di ABC”D, per una quantità pari a : 4ef + 4gh

Ne consegue che anche la somma dei lati di BCD è maggiore della somma dei lati di ABC”D

[maurizio43]

P. S. : Domanda ingenua da parte di un neofita ignorante :

C' è un motivo per cui tutte le soluzioni dei quesiti di geometria sono presentate senza uso di figura ?

[EvaristeG]

Ovvio che c'è: pigrizia.
Caricare una figura sul forum vorrebbe dire farla a mano e scansionarla, oppure farla con un programma apposito e allegarla al messaggio. Entrambe le cose risulterebbero poi pesanti nella lettura del forum. Si suppone che il lettore interessato possa prendere carta e penna e farsi la figura mentre segue la soluzione sul messaggio altrui Oppure che sia dotato di un'ottima capacità mentale di visualizzazione... XD