54. I vietnamiti lo sanno

[kalu]

Un forumista di AoPS lo dava per noto risolvendo in 5 righe un problema che in 5 righe non poteva essere risolto (http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 49&t=35309), e io solo per capire perchè era vero ci ho messo un'ora e mezza.

Dato un quadrilatero $ABCD$ circoscritto ad una circonferenza centrata nell'origine, dette $x^2$, $y^2$, $z^2$, $w^2$ le potenze di $A$, $B$, $C$, $D$ rispetto alla circonferenza, vale: $$(x+z)(\vec B+\vec D)+(y+w)(\vec A+\vec C)=0$$

[Chuck Schuldiner]

Visto che non si cimenta nessuno...piano di Gauss, circonferenza unitaria e quattro punti ad essa appartenenti, che chiamo $ \frac{1}{\alpha} ,\frac{1}{\beta} ,\frac{1}{\gamma} ,\frac{1}{\delta} $ e li ordino in modo che $ \frac{|\beta -\alpha|}{|\beta + \alpha|}=i\frac{\beta -\alpha}{\beta + \alpha} $ e ciclici, cioè in modo che i reciproci dei quattro punti stiano in senso antiorario da $ \alpha $ a $ \delta $ e tali che gli archi formati tra lettere consecutive siano minori di mezza circonferenza. Definisco a come l'intersezione tra le tangenti per $ \frac{1}{\alpha} $ e $ \frac{1}{\beta} $, cioè è l'inverso rispetto alla cfr unitaria di $ \frac {\frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta} }{2} $. Essendo l'inverso in questo caso il coniugato del reciproco e siccome i punti appartengono alla circonferenza, allora $ a=\frac {2}{\alpha+\beta} $ e ciclici. La potenza di a è chiaramente $ |a|^2-1 $, quindi $ x=\sqrt{|\frac{2}{\alpha+\beta}|^2-1}=\sqrt{\frac{2}{\alpha+\beta}\frac{2}{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}}-1}=\sqrt{\frac{(\beta-\alpha)^2}{(\beta+\alpha)^2}}=i\frac{\beta -\alpha}{\beta + \alpha} $. Sostituendo viene.

[kalu]

Bene, vai pure

[Chuck Schuldiner]

oghei viewtopic.php?f=14&t=17958