54. I vietnamiti lo sanno

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kalu
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54. I vietnamiti lo sanno

Messaggio da kalu » 21 apr 2013, 15:19

Un forumista di AoPS lo dava per noto risolvendo in 5 righe un problema che in 5 righe non poteva essere risolto (http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 49&t=35309), e io solo per capire perchè era vero ci ho messo un'ora e mezza.

Dato un quadrilatero $ABCD$ circoscritto ad una circonferenza centrata nell'origine, dette $x^2$, $y^2$, $z^2$, $w^2$ le potenze di $A$, $B$, $C$, $D$ rispetto alla circonferenza, vale: $$(x+z)(\vec B+\vec D)+(y+w)(\vec A+\vec C)=0$$
Pota gnari!

Chuck Schuldiner
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Re: 54. I vietnamiti lo sanno

Messaggio da Chuck Schuldiner » 26 apr 2013, 23:47

Visto che non si cimenta nessuno...piano di Gauss, circonferenza unitaria e quattro punti ad essa appartenenti, che chiamo $ \frac{1}{\alpha} ,\frac{1}{\beta} ,\frac{1}{\gamma} ,\frac{1}{\delta} $ e li ordino in modo che $ \frac{|\beta -\alpha|}{|\beta + \alpha|}=i\frac{\beta -\alpha}{\beta + \alpha} $ e ciclici, cioè in modo che i reciproci dei quattro punti stiano in senso antiorario da $ \alpha $ a $ \delta $ e tali che gli archi formati tra lettere consecutive siano minori di mezza circonferenza. Definisco a come l'intersezione tra le tangenti per $ \frac{1}{\alpha} $ e $ \frac{1}{\beta} $, cioè è l'inverso rispetto alla cfr unitaria di $ \frac {\frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta} }{2} $. Essendo l'inverso in questo caso il coniugato del reciproco e siccome i punti appartengono alla circonferenza, allora $ a=\frac {2}{\alpha+\beta} $ e ciclici. La potenza di a è chiaramente $ |a|^2-1 $, quindi $ x=\sqrt{|\frac{2}{\alpha+\beta}|^2-1}=\sqrt{\frac{2}{\alpha+\beta}\frac{2}{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}}-1}=\sqrt{\frac{(\beta-\alpha)^2}{(\beta+\alpha)^2}}=i\frac{\beta -\alpha}{\beta + \alpha} $. Sostituendo viene.
https://www.youtube.com/watch?v=35bqkTIcljs

Mare Adriatico: fatto
tetto del Di Stefano: fatto
finestra del Verdi: fatto
lavandino del Cecile: fatto
Arno: fatto
Mar Tirreno: fatto
Mar Ionio: fatto
tetto del Carducci: fatto
mura di Pisa: fatto

ho fatto più allo scritto in normale che alla maturità \m/

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kalu
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Re: 54. I vietnamiti lo sanno

Messaggio da kalu » 27 apr 2013, 14:33

Bene, vai pure :)
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Chuck Schuldiner
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Re: 54. I vietnamiti lo sanno

Messaggio da Chuck Schuldiner » 29 apr 2013, 23:49

https://www.youtube.com/watch?v=35bqkTIcljs

Mare Adriatico: fatto
tetto del Di Stefano: fatto
finestra del Verdi: fatto
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ho fatto più allo scritto in normale che alla maturità \m/

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