50. Quadrilatero convesso e concorrenze

[mat94]

ABCD è un quadrilatero convesso (non ciclico) con le diagonali perpendicolari e il loro punto di incontro è E. Sia P su AD tale che PE=EC. La circonferenza circoscritta a BCD interseca AD in Q. La circonferenza passante per A e tangente a EP in P interseca AC in R. Dimostrare che B,R,Q sono allineati se e solo se $ \angle BCD=90$.

[kalu]

$$\angle BCD=90 \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ \triangle BCE \approx \triangle CDE \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ CE^2=BE\cdot DE$$ Inoltre $$CE=PE$$ $$BE=\frac{ER}{\tan \angle RBE}$$ $$DE=EA \cdot \tan \angle DAE$$ Quindi $$\angle BCD=90 \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ PE^2=ER\cdot EA \cdot \frac{\tan \angle DAE}{\tan \angle RBD}$$
Detto $\Gamma$ il circocerchio di $\triangle APR$ (che tange $PE$), si ha che: $$\mbox{Pow} _{\Gamma}(E)=PE^2=ER\cdot EA$$ Quindi $$\angle BCD=90 \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ \tan \angle DAE=\tan \angle RBD \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ \angle DAE= \angle RBD $$
Inoltre, per la ciclicità di $BCDQ$, $$\angle BCD=90 \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ \angle BQD=90\ \ \ \leftrightarrow \ \ \ \triangle BQD \approx \triangle AED \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ \angle DAE=\angle QBD$$ Perciò $$\angle BCD=90 \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ \angle RBD=\angle QBD \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ B, R, Q \ \mbox{allineati}$$

[mat94]

Esatto a te il prossimo.