Riga e compasso

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jordan
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Riga e compasso

Messaggio da jordan » 31 mar 2013, 16:00

Fissiamo i punti A=(0,0), B=(1,0), C=(c,0) per qualche reale positivo c. E' possibile costruire il punto \[ D=\left(\sqrt{c}+1,\sqrt[4]{c}-\frac{1}{c}\right)\] solo con riga e compasso?
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Re: Riga e compasso

Messaggio da Triarii » 31 mar 2013, 17:12

Le distanze si possono riportare col compasso?
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jordan
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Re: Riga e compasso

Messaggio da jordan » 31 mar 2013, 18:02

Triarii ha scritto:Le distanze si possono riportare col compasso?
No, ma vedrai che non fa differenza
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Re: Riga e compasso

Messaggio da totissimus » 03 apr 2013, 08:23

Per $c=16$ il punto è $D=\left( 5,\frac{31}{16}\right)$ che è ovviamente costruibile.

Ma probabilmente non ho capito bene il problema.

Triarii
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Re: Riga e compasso

Messaggio da Triarii » 03 apr 2013, 19:57

Boh, non so se è giusta, perchè di fatto le distanze le ho riportate, però non mi pare di aver infranto le regole sull'uso di riga e compasso, ossia congiungere punti con rette, individuare l'intersezione fra 2 rette, 2 circonferenze o fra una retta e una circonferenza e tracciare in cerchio dati il raggio e il centro (già individuati/costruiti attraverso gli altri passaggi o già dati)
Comunque a naso si intuisce che il punto è costruibile: infatti già con la sola riga si possono operare sui segmenti le 4 operazioni razionali: somma, sottrazione, prodotto (fra 2 segmenti o fra segmento e scalare) e divisione (sempre fra 2 segmenti o fra segmento e scalare). Inoltre l'uso del compasso ci consente, dato il segmento $ OA= a $ e il segmento unitario, di costruire $ \sqrt a $.
PROCEDIMENTO: Basta infatti costruire il segmento $ a+1 $riportando sulla stessa retta $ OA=a $ e $ AB=1 $ (dovrebbe essere una mossa lecita credo perchè sto "riportando" le distanze tracciando cerchi con centro in punti già individuati e con raggi pari a segmenti già dati. Si trova il punto medio del segmento $ OB $ (lecito) e si traccia la circonferenza con raggio $ (a+1)/2 $. Si traccia poi la perpendicolare al segmento $ OB $ passante per A. L'intersezione fra la perpendicolare e la circonferenza tracciata è lunga grazie al teorema di Euclide proprio $ \sqrt a $ . Di conseguenza ogni radice con indice pari è costruibile iterando questo procedimento.Quindi posso costruire il punto dato perchè richiede solo l'uso di domma, sottrazione, divisione e estrazione di radici (quadrata e quarta) e partio già con 3 punti, il segmento unitario e il segmento lungo c ( le uniche 2 lunghezze richieste).
Un modo per procedere potrebbe essere questo.
Traccio la circonferenza con centro nell'origine e raggio 1. Traccio la retta passante per l'origine e C (l'asse x insomma). L'intersezione fra questi punti ci dà il punto P(1;0). Traccio una circonferenza con centro in P e raggio c (Si noti che stiamo utilizzando solo distanze date e punti dati o ottenuti tramite intersezione). Ottengo il Q(c+1;0). Grazie al procedimento descritto sopra posso quindi costruire $ \sqrt c $. Per ottenere$ \sqrt c +1 $ basterà tracciare una circonferenza con raggio $ \sqrt c $ con centro in P. Per le coordinate lungo la y segue un ragionamento simile, basta solo ricordarsi la costruzione per 1/c.

E' lecito un procedimento del genere oppure ho infranto le regole?
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