Il problema seguente mi pare bello da proporre perchè, oltre a quella tramite l'uso delle coordinate baricentriche, ammette anche una soluzione sintetica piuttosto interessante che non fa uso di niente di più di quello che si impara ai corsi basic dello stage Senior. Dunque:
"Sia dato un triangolo $ ABC $. Siano $ H_A $ e ciclici i piedi delle altezze e siano $ I_A $ e ciclici gli excentri. Siano $ O $ il circocentro e $ I $ l'incentro del triangolo.
Dimostrare che $ H_AI_A $ e cicliche concorrono in un punto che giace sulla retta $ OI $"
Perspettività sintetiche
Re: Perspettività sintetiche
Qualche hint per farlo in sintetica? Perchè in baricentriche viene, basta avere 20 minuti di silenzio e non sbagliare il conto.. ma in sintetica boh..
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Francesco Sala
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- Iscritto il: 13 ago 2012, 21:16
Re: Perspettività sintetiche
Propongo l'approccio più semplice.
Testo nascosto:
Re: Perspettività sintetiche
Molto bello come problema ed effettivamente semplice con l'hint 
Re: Perspettività sintetiche
Generalizziamo il problema per il punto a, sperando che sia vero u.u
Siano $I_A$, $I_B$ e $I_C$ gli excentri opposti ad $A$, $B$ e $C$, siano inoltre $N_A$, $N_B$ e $N_C$ punti sui lati opposti ai vertici $A$, $B$ e $C$ tali che le ceviane $AN_A$, $BN_B$ e $C_NC$ concorrono in $X$ del triangolo $ABC$. Allora anche $I_AN_A$, $I_BN_B$ e $I_CN_C$ concorrono nel coniugato isogonale di $X$ del triangolo degli excentri.
Dimostrando questo, allora il punto di concorrenza di $I_AM_A$, $I_BM_B$ e $I_CM_C$ è il punto di Lemoine del triangolo degli excentri.
Se nessuno posta la soluzione della generalizzazione, allora hinto
Siano $I_A$, $I_B$ e $I_C$ gli excentri opposti ad $A$, $B$ e $C$, siano inoltre $N_A$, $N_B$ e $N_C$ punti sui lati opposti ai vertici $A$, $B$ e $C$ tali che le ceviane $AN_A$, $BN_B$ e $C_NC$ concorrono in $X$ del triangolo $ABC$. Allora anche $I_AN_A$, $I_BN_B$ e $I_CN_C$ concorrono nel coniugato isogonale di $X$ del triangolo degli excentri.
Dimostrando questo, allora il punto di concorrenza di $I_AM_A$, $I_BM_B$ e $I_CM_C$ è il punto di Lemoine del triangolo degli excentri.
Se nessuno posta la soluzione della generalizzazione, allora hinto
Re: Perspettività sintetiche
Proverò a dimostrare che quelle tre rette concorrono ma non nel coniugato isogonale di $ X $, se non in casi particolari.
Siano $ ABC $ e $ I_aI_bI_c $ i due triangoli. Prendiamo la ceviana $ AS $ che individua $ P $; la retta $ I_aS $ incontra $ I_bI_c $ in $ T $. Ora si ha, chiamando $ \omega $ $ \angle BI_aS= \angle I_cI_aT $ e $ \delta $ $ \angle SI_aC=\angle TI_aI_b $: $ \frac{BS\cdot sen(90-\beta/2)}{sen (\omega)}=\frac{SC \cdot sen(90-\gamma/2)}{sen (\delta)} $ e anche $ \frac{I_cT \cdot sen(90-\gamma/2)}{sen (\omega)}=\frac{I_bT \cdot sen(90-\beta/2)}{sen (\delta)} $ dato che $ BC,I_cI_b $ sono antiparallele, da cui $ \frac{BS \cdot sen(90-\beta/2)}{SC \cdot sen(90-\gamma/2)}=\frac{I_cT \cdot sen(90-\gamma/2)}{I_bT \cdot sen(90-\beta/2)} $. Quindi
$ \frac{I_cT}{I_bT}=\frac{BS \cdot (I_cI_a)^2}{SC \cdot (I_aI_b)^2} $, per il teorema dei seni nel triangolo degli excentri. Ragionando analogamente con gli altri vertici e le ceviane $ BQ,CR $, e chiamando $ U,V $ le intersezioni delle rette con i lati opposti, si ha $ \frac{I_bV}{I_aV}=\frac{AR \cdot (I_bI_c)^2}{BR*(I_cI_a)^2} $ e $ \frac{I_aU}{I_cU}=\frac{CQ \cdot (I_aI_b)^2}{AQ \cdot (I_bI_c)^2} $. Ora si ha $ \frac{I_aU}{I_cU}\cdot\frac{I_cT}{I_bT}\cdot\frac{I_bV}{I_aV}=\frac{CQ \cdot (I_aI_b)^2}{AQ \cdot (I_bI_c)^2}\cdot \frac{BS \cdot (I_cI_a)^2}{SC \cdot (I_aI_b)^2}\cdot \frac{AR \cdot (I_bI_c)^2}{BR \cdot (I_cI_a)^2}=1 $, dato che i quadrati si semplificano e le ceviane $ AS,BQ,CR $ concorrevano in $ P $. Questo dimostra la concorrenza per Ceva. Ora notiamo che i rapporti fra i segmenti staccati dalle ceviane nel triangolo degli excentri dipendono dai rapporti dei segmenti analoghi nel triangolo di partenza: dato che i due triangoli non sono simili, i rapporti fra i segmenti staccati dalle ceviane che individuano lo stesso punto sono diversi, a meno che non siano indipendenti dai lati o dagli angoli del triangolo (come ad esempio il baricentro). Quindi, ammettendo che la ceviana uscente da $ I_a $ che individua il punto $ X $ nel triangolo degli excentri sia $ I_aZ $, si avrà in generale che $ \frac{I_cT}{I_bT}=\frac{BS \cdot (I_cI_a)^2}{SC \cdot (I_aI_b)^2} \neq \frac{ I_cZ\cdot (I_cI_a)^2}{I_bZ \cdot (I_aI_b)^2} $ e cicliche. Questo significa che le ceviane che individuano il con. isogonale di $ X $ nel triangolo negli excentri sono diverse dalle rette da cui siamo partiti. Per quanto riguarda il baricentro si ha $ \frac{I_cT}{I_bT}=\frac{(I_cI_a)^2}{(I_aI_b)^2} $ e cicliche, che conferma la concorrenza delle nostre rette di partenza nel punto di Lemoine.
Siano $ ABC $ e $ I_aI_bI_c $ i due triangoli. Prendiamo la ceviana $ AS $ che individua $ P $; la retta $ I_aS $ incontra $ I_bI_c $ in $ T $. Ora si ha, chiamando $ \omega $ $ \angle BI_aS= \angle I_cI_aT $ e $ \delta $ $ \angle SI_aC=\angle TI_aI_b $: $ \frac{BS\cdot sen(90-\beta/2)}{sen (\omega)}=\frac{SC \cdot sen(90-\gamma/2)}{sen (\delta)} $ e anche $ \frac{I_cT \cdot sen(90-\gamma/2)}{sen (\omega)}=\frac{I_bT \cdot sen(90-\beta/2)}{sen (\delta)} $ dato che $ BC,I_cI_b $ sono antiparallele, da cui $ \frac{BS \cdot sen(90-\beta/2)}{SC \cdot sen(90-\gamma/2)}=\frac{I_cT \cdot sen(90-\gamma/2)}{I_bT \cdot sen(90-\beta/2)} $. Quindi
$ \frac{I_cT}{I_bT}=\frac{BS \cdot (I_cI_a)^2}{SC \cdot (I_aI_b)^2} $, per il teorema dei seni nel triangolo degli excentri. Ragionando analogamente con gli altri vertici e le ceviane $ BQ,CR $, e chiamando $ U,V $ le intersezioni delle rette con i lati opposti, si ha $ \frac{I_bV}{I_aV}=\frac{AR \cdot (I_bI_c)^2}{BR*(I_cI_a)^2} $ e $ \frac{I_aU}{I_cU}=\frac{CQ \cdot (I_aI_b)^2}{AQ \cdot (I_bI_c)^2} $. Ora si ha $ \frac{I_aU}{I_cU}\cdot\frac{I_cT}{I_bT}\cdot\frac{I_bV}{I_aV}=\frac{CQ \cdot (I_aI_b)^2}{AQ \cdot (I_bI_c)^2}\cdot \frac{BS \cdot (I_cI_a)^2}{SC \cdot (I_aI_b)^2}\cdot \frac{AR \cdot (I_bI_c)^2}{BR \cdot (I_cI_a)^2}=1 $, dato che i quadrati si semplificano e le ceviane $ AS,BQ,CR $ concorrevano in $ P $. Questo dimostra la concorrenza per Ceva. Ora notiamo che i rapporti fra i segmenti staccati dalle ceviane nel triangolo degli excentri dipendono dai rapporti dei segmenti analoghi nel triangolo di partenza: dato che i due triangoli non sono simili, i rapporti fra i segmenti staccati dalle ceviane che individuano lo stesso punto sono diversi, a meno che non siano indipendenti dai lati o dagli angoli del triangolo (come ad esempio il baricentro). Quindi, ammettendo che la ceviana uscente da $ I_a $ che individua il punto $ X $ nel triangolo degli excentri sia $ I_aZ $, si avrà in generale che $ \frac{I_cT}{I_bT}=\frac{BS \cdot (I_cI_a)^2}{SC \cdot (I_aI_b)^2} \neq \frac{ I_cZ\cdot (I_cI_a)^2}{I_bZ \cdot (I_aI_b)^2} $ e cicliche. Questo significa che le ceviane che individuano il con. isogonale di $ X $ nel triangolo negli excentri sono diverse dalle rette da cui siamo partiti. Per quanto riguarda il baricentro si ha $ \frac{I_cT}{I_bT}=\frac{(I_cI_a)^2}{(I_aI_b)^2} $ e cicliche, che conferma la concorrenza delle nostre rette di partenza nel punto di Lemoine.
Re: Perspettività sintetiche
Tutti i conti mi hanno fatto morire ( 
) però ho visto più o meno e dovrebbe andare bene. Per la concorrenza, mi sembrava di aver dimostrato che anche se fosse $I_AK_A$ con $K_A$ piedi dell'altezza allora concorrevano nel circocentro di $I_AI_BI_C$ e allora ho generalizzato xD
Per non rendere completamente inutile questo post, per i casi semplici c'è una bella omotetia che fa concludere in breve.
) però ho visto più o meno e dovrebbe andare bene. Per la concorrenza, mi sembrava di aver dimostrato che anche se fosse $I_AK_A$ con $K_A$ piedi dell'altezza allora concorrevano nel circocentro di $I_AI_BI_C$ e allora ho generalizzato xDPer non rendere completamente inutile questo post, per i casi semplici c'è una bella omotetia che fa concludere in breve.
Re: Perspettività sintetiche
Premesso che potrei aver letto male il testo 
, con Geogebra sembra che le cose non siano così semplici. A parte baricentro e mittenpunkt, hai qualche idea di che punto possa essere quello in cui concorrono $ I_aK_a $ e cicliche, dove $ K_a $ sono i piedi di ceviane notevoli?
, con Geogebra sembra che le cose non siano così semplici. A parte baricentro e mittenpunkt, hai qualche idea di che punto possa essere quello in cui concorrono $ I_aK_a $ e cicliche, dove $ K_a $ sono i piedi di ceviane notevoli?- Allegati
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Re: Perspettività sintetiche
Ok ho segato tutto dove concorrono allora non si può dire 
grazie mille
dove concorrono allora non si può dire grazie mille Re: Perspettività sintetiche
Di niente