39. Tangente in P e due circonferenze.

[bĕlcōlŏn]

Siano date due circonferenze $\gamma_1$ e $\gamma_2$ le quali si intersecano in $A$ e $B$. Sia $P \in \gamma_2$. Sia $r$ la tangente condotta da $P$ a $\gamma_2$ e siano $\left\{ X_1,Y_1\right\} = r \cap \gamma_1$. A questo punto sia $S_1$ il piede della perpendicolare condotto da $P$ a $X_1B$; $S_2$ quello condotto da $P$ a $Y_1A$ e $S_3$ quello condotto da $P$ a $AB$. Dimostrare che la circonferenza per $S_1$, $S_2$ e $S_3$ passa anche per il punto medio di $AB$.

[kalu]

Sia $C=XB \cap YA$, $T=AB\cap XY$. Suppongo WLOG $AT<BT$.
È noto che i triangoli pedali di due coniugati isogonali sono inscritti nella stessa circonferenza, quindi basta dimostrare che il coniugato isogonale di $P$ rispetto a $ABC$ è sull'asse di $AB$.
Uso le notazioni standard sul triangolo $ABC$.
È facile verificare che: $ [P, a]=XP\cdot sen\alpha $, $ \ \ [P, b]=YP\cdot sen\beta $, $ \ \ [P, c]=TP\cdot sen(\alpha-\beta) $.
Quindi, tenendo conto della configurazione, $P$ ha trilineari: $\ \ [XP\cdot sen\alpha, \ \ -YP\cdot sen\beta,\ \ -TP\cdot sen(\alpha-\beta)]$.
Vogliamo che il circocentro di $ ABC $, il punto medio di $ AB $ e il coniugato isogonale di $P$ siano allineati, ovvero che $$\begin{vmatrix} cos\alpha & cos\beta & cos\gamma \\ sen\beta & sen\alpha & 0 \\ \frac{1}{XP\cdot sen\alpha} & -\frac{1}{YP\cdot sen\beta} & -\frac{1}{TP\cdot sen(\alpha-\beta)} \end{vmatrix}=0$$
Sviluppando i conti la speranza diventa $$\frac{sen\alpha \ cos\alpha-sen\beta \ cos\beta}{sen(\alpha-\beta)cos\gamma}=\frac{TP}{XP}+\frac{TP}{YP}$$ E infatti $$\frac{sen\alpha \ cos\alpha-sen\beta \ cos\beta}{sen(\alpha-\beta)cos\gamma}=\frac{sen\alpha \ cos\alpha-sen\beta \ cos\beta}{(sen\alpha \ cos\beta- cos\alpha \ sen\beta)(sen\alpha \ sen\beta-cos\alpha \ cos\beta)}=1$$ $$\frac{TP}{XP}+\frac{TP}{YP}=\frac{TP}{XT+TP}+\frac{TP}{YT+TP}=\frac{TP(XT+YT)+2TP^2}{TP(XT+YT)+XT\cdot YT+TP^2}=1$$
Nella seconda identità si è usato che $ T $ è sull'asse radicale di $ \gamma_1 $ e $ \gamma_2 $, quindi $ TP^2= XT\cdot YT $.

[mat94]

ci siamo fermati qui?