OliForum Matematico

Su un foglio di carta illimitato sono segnati due punti A e B. Si disponga
di tre righe prive di suddivisioni, una lunga cm 8, l’altra lunga cm 11, la
terza illimitata; dire con quale precisione si puo misurare la distanza dei `
due punti A e B.
Secondo voi ha senso un testo del genere?

Ma di quelli della SNS gli anni precedenti diciamo sono più normali...
Vedi quelli degli ultimi anni, specie di fisica, alcuni osceni (alcuni ancora non li ho capiti sinceramente, chiedo domani ad un normalista chiarimenti per fortuna XD)

Comunque il problema è da intendere in questo modo. Ho un piano, due punti $\displaystyle A,B$ e ho due segmenti $\displaystyle x=8 cm$ $\displaystyle y=11cm$
Qual è il minimo errore che posso commettere?
Allora faccio passare per $\displaystyle A,B$ la retta $\displaystyle r$ (il segmento illimitato). Dunque poi posso descrivere la distanza tra A e B in funzione dei segmenti $\displaystyle x,y$ sommando o sottraendo un tot di quantità di ognuno.
Quindi possiamo scrivere che $\displaystyle AB=ax+by$ con $\displaystyle a,b$ interi.
Ora si tratta di minimizzare quella somma. Notiamo che $\displaystyle MCD(8,11)=1$ dunque con il meccanismo della divisione euclidea possiamo trovare $\displaystyle (a,b)$ tali che quella somma sia 1. 1 dunque è il minimo errore che si può commettere (1 cm ovvio)

A!!! cavolo ma con il massimo comun divisore è una cavolata!!!una cosa a e b sono costanti?? o almeno proporzionali tra di loro??perché altrimenti la tua tesi non regge.

emh $\displaystyle a$ e $\displaystyle b$ non devono essere proporzionali, almeno non è obbligatorio.
Riguardati il teorema di Bezout

ok

petroliopg ha scritto:Ma di quelli della SNS gli anni precedenti diciamo sono più normali...
Vedi quelli degli ultimi anni, specie di fisica, alcuni osceni (alcuni ancora non li ho capiti sinceramente, chiedo domani ad un normalista chiarimenti per fortuna XD)

Comunque il problema è da intendere in questo modo. Ho un piano, due punti $\displaystyle A,B$ e ho due segmenti $\displaystyle x=8 cm$ $\displaystyle y=11cm$
Qual è il minimo errore che posso commettere?
Allora faccio passare per $\displaystyle A,B$ la retta $\displaystyle r$ (il segmento illimitato). Dunque poi posso descrivere la distanza tra A e B in funzione dei segmenti $\displaystyle x,y$ sommando o sottraendo un tot di quantità di ognuno.
Quindi possiamo scrivere che $\displaystyle AB=ax+by$ con $\displaystyle a,b$ interi.
Ora si tratta di minimizzare quella somma. Notiamo che $\displaystyle MCD(8,11)=1$ dunque con il meccanismo della divisione euclidea possiamo trovare $\displaystyle (a,b)$ tali che quella somma sia 1. 1 dunque è il minimo errore che si può commettere (1 cm ovvio)

Perché "si tratta di minimizzare quella somma"? Devi dimostrare che esistono due interi $x$ e $y$ tali che $11x+8y=|AB|$. Se $|AB|\in\mathbb{N}$ questo puoi sempre farlo, basta prendere $x=3|AB|$ e $y=-4|AB|$ (o semplicemente per l'identità di Bézout, poiché $(8, 11)=1$). Se $|AB|\not\in\mathbb{N}$, allora commetti al più un errore di mezzo centimetro. In conclusione, si può misurare la distanza dei due punti $A$ e $B$ con una precisione di mezzo centimetro.

Bonus: e se le righe limitate hanno lunghezza $h$ e $k$ ?

Considerare nello spazio euclideo nove punti distinti a coordinate intere.
Dimostrare che ne esistono due tali che il segmento che li congiunge contiene almeno un punto interno (cioe distinto dagli estremi) a coordinate `
intere.

Cavolo! sembra troppo generico!!

ho pensato che presi due punti qualsiasi esisterà un punto medio in cui :

$ x_m= x_2+x_1 /2;y_1+y_2/2;z_1+z_2/2 $ e perciò se ci saranno due numeri pari o due dispari la cosa darà un numero intero...però per la coppia pari /dispari??

Ognuna delle tre coordinate può essere pari o dispari, quindi in totale posso avere $ 2^3 $ combinazioni diverse di coordinate pari o dispari (ppp,ppd,pdp, ecc....)

Se ho nove punti per il pigeonhole per forza esistono due punti dello stesso "tipo", cioè con le coorsinate omologhe della stessa parità, quindi il punto medio tra quei due punti sarà intero

auron95 ha scritto:Ognuna delle tre coordinate può essere pari o dispari, quindi in totale posso avere2^3combinazioni diverse di coordinate pari o dispari (ppp,ppd,pdp, ecc....)

Se ho nove punti per il pigeonhole per forza esistono due punti dello stesso "tipo", cioè con le coorsinate omologhe della stessa parità, quindi il punto medio tra quei due punti sarà intero

ok perfetto solo che ne rimane uno..il nono punto?? compenserà il pari o dispari ??

No è il principio dei cassetti......

tu hai 8 "tipi" di punti (combinazioni di pari e dispari) e 9 punti. Non possono essere tutti di "tipi" diversi, perchè al massimo puoi avere i primi 8 tutti diversi (uno per "tipo") ma il nono dovrà essere per forza dello stesso tipo di uno già considerato. E' come se cercassi di mettere 9 piccioni in 8 gabbie mettendoli tutti in gabbie diverse.......

Considerando quindi questi due punti dello stesso "tipo" le coordinate$ \displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right) $ sono intere perché il numeratore è sempre pari (somma di due pari o di due dispari).

Sisi capito!!! 2^3 combinazioni perciò 8 combinazioni differenti per otto punti è come il gioco delle carte se pesco 5 carte quante possibilità ho di pescarne due dello stesso seme???? 100% perché anche se sono 4 semi diversi la quinta sarà uguale ad una.

Se le righe hanno lunghezza h e k allora la precisione massima ottenibile non è $ \displaystyle \frac{\gcd(h, k)}{ 2} $. ?

ant.py ha scritto:Se le righe hanno lunghezza h e k allora la precisione massima ottenibile non è $ \displaystyle \frac{\gcd(h, k)}{ 2} $. ?

Sì

Allora il bonus l'avevi praticamente già risolto tu

Infatti è noto che

$ kx + hy = n $ ha soluzioni (infinite) solo se $ \gcd(h,k) | n $ .. Posto $ d = \gcd(h,k) $ e $ n = dAB $ si ha che

$ kx + hy = dAB $ ha soluzione, quindi il segmento $ dAB $ si riesce a misurare correttamente se $ AB $ è intero, altrimenti l'errore compiuto è $ d/2 $ ( infatti approssimiamo $ dAB = d(\lfloor AB \rfloor + 1/2) = d\lfloor AB \rfloor + d/2 $ )