Premettendo che io mi consideri del tutto ignorante in geometria... Qualcuno saprebbe risolvere questo problema?
Un ottagono inscritto in una circonferenza ha quattro lati di lunghezza 2 e i quattro rimanenti di lunghezza rad2. Calcolare il raggio della circonferenza.
Ottagono inscritto
Re: Ottagono inscritto
Se i lati hanno lunghezze alternate (cioè uno 2, uno rad2 ecc.) allora lo puoi inscrivere in un quadrato di lato $ 3\sqrt{2} $ in cui i lati lunghi $ \sqrt{2} $ sono al centro dei lati del quadrato.
La circonferenza interseca il quadrato dividendo i lati in tre parti uguali....
Così dovresti poter calcolare agevolmente il raggio con pitagora......
La circonferenza interseca il quadrato dividendo i lati in tre parti uguali....
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petroliopg
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Re: Ottagono inscritto
Sia chiaro che io sono una checca a geometria, ma il problema l'ho già visto (collegio clesio di trento, dove proverò il test tante le volte m'ammettono)
Io ho fatto più trigonometricamente. Ho diviso l'angolo al centro dell'ottagono (giro), in 16 parti. 8 $\ \alpha$ e 8 $\ \beta $, rispettivamente il semiangolo dei triangoli di base $\ b_1= \sqrt2$ e $\ b_2= 2$.
Dunque so che $\displaystyle r \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt2}$ e che $\displaystyle r \sin \beta = 1$
$\displaystyle \beta = \frac {\pi}{4} - \alpha$
dunque facciamo il rapporto tra le due equazioni e viene a conti fatti $\displaystyle \tan \alpha= \frac {1}{3}$ e $\displaystyle \tan \beta= \tan {\frac {\pi}{4} - \alpha}=\frac {1}{2}$
dunque sappiamo che chiamate con $\displaystyle h_1$, $\displaystyle h_2$ le altezze dei due tipi di triangoli:
$\displaystyle h_1=\frac {3}{\sqrt2}$ e $\displaystyle h_2=2$
Dunque $\displaystyle r=\sqrt{h_1^2+\frac{b_1^2}{4}}=\sqrt5$ o $\displaystyle r=\sqrt{h_2^2+\frac{b_2^2}{4}}=\sqrt5$
premettendo che non sono sicuro di ciò che ho fatto. ma di fatto ho avuto il dubbio (sono scarso a geometria ricordo) che se l'ottagono avesse avuto 4 lati $\sqrt2$ consecutivi e così gli altri $\ 2$, sarebbe cambiato qualcosa, o più in generale qualsiasi combinazione di lati avesse cambiato in qualche modo il raggio. O se più di queste combinazioni fossero errate, dimostrare quali erano quelle accettabili, tipo dicendo che il circocentro del poligono doveva coincidere col centro della circonferenza... non so
Io ho fatto più trigonometricamente. Ho diviso l'angolo al centro dell'ottagono (giro), in 16 parti. 8 $\ \alpha$ e 8 $\ \beta $, rispettivamente il semiangolo dei triangoli di base $\ b_1= \sqrt2$ e $\ b_2= 2$.
Dunque so che $\displaystyle r \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt2}$ e che $\displaystyle r \sin \beta = 1$
$\displaystyle \beta = \frac {\pi}{4} - \alpha$
dunque facciamo il rapporto tra le due equazioni e viene a conti fatti $\displaystyle \tan \alpha= \frac {1}{3}$ e $\displaystyle \tan \beta= \tan {\frac {\pi}{4} - \alpha}=\frac {1}{2}$
dunque sappiamo che chiamate con $\displaystyle h_1$, $\displaystyle h_2$ le altezze dei due tipi di triangoli:
$\displaystyle h_1=\frac {3}{\sqrt2}$ e $\displaystyle h_2=2$
Dunque $\displaystyle r=\sqrt{h_1^2+\frac{b_1^2}{4}}=\sqrt5$ o $\displaystyle r=\sqrt{h_2^2+\frac{b_2^2}{4}}=\sqrt5$
premettendo che non sono sicuro di ciò che ho fatto. ma di fatto ho avuto il dubbio (sono scarso a geometria ricordo) che se l'ottagono avesse avuto 4 lati $\sqrt2$ consecutivi e così gli altri $\ 2$, sarebbe cambiato qualcosa, o più in generale qualsiasi combinazione di lati avesse cambiato in qualche modo il raggio. O se più di queste combinazioni fossero errate, dimostrare quali erano quelle accettabili, tipo dicendo che il circocentro del poligono doveva coincidere col centro della circonferenza... non so
Sensi non ho; né senso. Non ho limite.
Montale
$ \displaystyle i \hbar \dot {\psi} = \hat{H} \psi $
Montale
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Re: Ottagono inscritto
Secondo me l'ordine dei lati non è influente, perché comunque archi della stessa lunghezza sottendono archi uguali (nella stessa circonferenza) quindi se è iscritta una certa combinazione, anche tutte le altre combinazioni sono giuste(la somma degli archi sottesi è sempre uguale alla lunghezza della circonferenza).
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Re: Ottagono inscritto
Mi spiego meglio: se io ho che una certa sequenza di lati è iscritta in una circonferenza di raggio $ \sqrt{5} $ io posso prendere un arco $ AB $ e sostituirlo con il suo simmetrico rispetto all'asse di $ AB $:
così ho che l'arco rimane lo stesso, $ A $ va in $ B $ e viceversa, i punti che stavano sull'arco continuano ad essere sull'arco e il poligono, seppure abbia dei lati invertiti, è sempre iscritto.
Con le giuste simmetrie dovresti essere in grado di ottenere tutte le combinazioni.
così ho che l'arco rimane lo stesso, $ A $ va in $ B $ e viceversa, i punti che stavano sull'arco continuano ad essere sull'arco e il poligono, seppure abbia dei lati invertiti, è sempre iscritto.
Con le giuste simmetrie dovresti essere in grado di ottenere tutte le combinazioni.
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TrainingAlby
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Re: Ottagono inscritto
mi sfugge questo passaggio (maledetto anche io sarò a Trento, già uno dei cinque posti davanti a me è chiuso oradunque facciamo il rapporto tra le due equazioni e viene a conti fatti tanα=13 e tanβ=tanπ4−α=12
)-
petroliopg
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- Iscritto il: 17 giu 2012, 17:31
Re: Ottagono inscritto
sappi che non è così. anzitutto debbo fare anche l'esame di lingua ed io sono scarso parecchio là. poi io a geometria sono stupidissimo ed in generale non è che brillo alle olimat, seppure comunque i problemi di trento siano piuttosto facili (tipo quello $\displaystyle 2011^4+4^{2011}$ che bastava applicare un $\displaystyle \mod 5$ ed era risolto.. ma questo è off topic
comunque ho saltato i passaggi perché è una pizza scrivere in tex (seppure è bello da vedere). Se ti chiedi il perché era per trovare una relazione per gli angoli o tra seni da riciclare poi in qualche modo.
Ora gli r si semplificano quindi rimane
$\displaystyle \frac {sen\beta}{sen\alpha}=\sqrt2$
poi $\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{cos\alpha - sen\alpha}{sen\alpha}=\sqrt2$
quindi diventa semplificando radici etc... $\displaystyle cotan{\alpha}=3$ da cui $\tan{\alpha}=\frac{1}{3}$
procedimento analogo per l'altro, ma era più per una controprova. bastava ricavarne uno per finire il problema.
comunque ho saltato i passaggi perché è una pizza scrivere in tex (seppure è bello da vedere). Se ti chiedi il perché era per trovare una relazione per gli angoli o tra seni da riciclare poi in qualche modo.
Ora gli r si semplificano quindi rimane
$\displaystyle \frac {sen\beta}{sen\alpha}=\sqrt2$
poi $\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{cos\alpha - sen\alpha}{sen\alpha}=\sqrt2$
quindi diventa semplificando radici etc... $\displaystyle cotan{\alpha}=3$ da cui $\tan{\alpha}=\frac{1}{3}$
procedimento analogo per l'altro, ma era più per una controprova. bastava ricavarne uno per finire il problema.
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TrainingAlby
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Re: Ottagono inscritto
Mh grazie mille, see you on monday! (off topic: forse l'1 era ancora più facile LOL)