[tex]AP + BP + CP[/tex]

[zeitgeist505]

Sia $ ABC $ un triangolo rettangolo in $ A $ e $ P $ un punto sul perimetro di $ ABC $; trovare la posizione quest'ultimo affinchè
$ AP + BP + CP $ sia minimo.

[Karl Zsigmondy]

Se P sta sul lato AB, allora AP+PB=AB è costante, quindi devo minimizzare CP che è evidentemente minimo quando CP è altezza, ovvero P=A. In questo caso quindi AP+BP+CP=AB+AC. Il tutto avviene analogamente se P sta sul lato AC. Se invece P sta sul lato BC, devo minimizzare AP che si minimizza quando AP è altezza. In questo caso però $ AP+BP+CP=AP+BC=\frac{AB \cdot AC}{\sqrt{AB^2+AC^2}}+\sqrt{AB^2+AC^2}=\frac{AB^2+AC^2+AB \cdot AC}{\sqrt{AB^2+AC^2}} $. Si verifica facilmente ora (conti) che $ \frac{AB^2+AC^2+AB \cdot AC}{\sqrt{AB^2+AC^2}} > AB+AC $ da cui segue che il minimo si ha quando P coincide col punto A.

[t4ilgr4b]

Per dimostrare che $ AB+CA < BC+AP $ ho riscritto $ AP $ come $ AB \sin(\angle B) $ e $ CA $ come $ BC \sin(\angle B) $.
Ora $ AB(1-\sin\angle B) < BC(1-\sin\angle B) $ e quindi $ AB < BC $ che è sempre vero.