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Sia $ \triangle ABC $ un triangolo rettangolo in $ C $. Scelto un punto $ P $ sull'ipotenusa, sia $ L $ l'intersezione della circonferenza circoscritta ad $ \triangle APC $ con la retta $ BC $ e $ K $ l'intersezione della circonferenza circoscritta a $ \triangle PBC $ con la retta AC.
Dimostrare che $ P $, $ L $, $ K $ sono allineati.

Il quadrilatero $ ACLP $ è ciclico da cui segue per differenza $ \widehat{LPA} \cong 90 $. Adesso chiamo $ \widehat{CBA}=\beta $ ed $ \widehat{BAC}=\alpha $. Adesso $ \widehat{CKD}\cong \widehat{CBD} $ poichè si oppongono alla stessa corda, inoltre poiché $ \widehat{LDB}\cong \widehat{LCK}\cong 90 $, si ricava che $ \widehat{BLD}\cong \widehat{KLC} \cong \alpha $. Per differenza angolare si ha che $ \widehat{CLD}\cong 180-\alpha $. Poichè questi angoli sono supplementari, i tre punti sono allineati.

A parte quelle "$ D $" che credo dovessero essere delle "$ P $" tutto bene Comunque potevi già concludere al primo rigo osservando che anche $ \angle KPB=90 $ dal momento che $ \angle KPB $ e $ \angle KCB $ insistono sullo stesso arco

kalu ha scritto:A parte quelle "$ D $" che credo dovessero essere delle "$ P $" tutto bene Comunque potevi già concludere al primo rigo osservando che anche $ \angle KPB=90 $ dal momento che $ \angle KPB $ e $ \angle KCB $ insistono sullo stesso arco

In realtà sono da parti opposte, però dato che è retto, anche l'altro è retto...
Poi LPA=90 perché insiste su AC come LCA, che è retto...

Io l'ho pensata così, mi sembra corretto:

Chiamo $ Q $ la proiezione di $ P $ su $ CA $, pongo $ \widehat{AKP}=\alpha $.
Ora so che $ \widehat{CLK}=90-\alpha $ e quindi $ \widehat{CLP} = 90+\alpha $, faccio lo stesso in $ P $ e dimostro che sono allineati.

Ammetto di essere stato attratto da quel "facile" tra parentesi!

Drago96 ha scritto:In realtà sono da parti opposte, però dato che è retto, anche l'altro è retto...

Si, avevo sottinteso questo passaggio

Drago96 ha scritto:Poi LPA=90 perché insiste su AC come LCA, che è retto...

volevi dire "Insiste su AL" Si, questo è il passaggio iniziale che non ho scritto perchè l'aveva già detto Hawk: dicendo "puoi concludere al primo rigo osservando.." intendevo dire "dopo la prima frase puoi già concludere osservando..."

t4ilgr4b ha scritto:Ora so che CLKˆ=90−α e quindi CLPˆ=90+α

Non ci siamo.. Ciò che dici è vero se P, L, K sono allineati, ma questa è la tesi!

kalu ha scritto:

t4ilgr4b ha scritto:Ora so che CLKˆ=90−α e quindi CLPˆ=90+α

Non ci siamo.. Ciò che dici è vero se P, L, K sono allineati, ma questa è la tesi!

Già vero, l'ho fatto troppo di fretta, che scemo! Grazie della correzione!