TST francese

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kalu
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Messaggio da kalu » 10 mag 2012, 18:44

In un triangolo $ \triangle ABC $ siano $ A_1 $ e $ B_1 $ i piedi delle altezze condotte rispettivamente da $ A $ e da $ B $; sia inoltre $ M $ il punto medio di $ AB $.
a) Dimostra che $ MA_1 $ è tangente alla circonferenza circoscritta ad $ \triangle A_1B_1C $.
b) Dimostra che le circonferenze circoscritte a $ \triangle A_1B_1C $, $ \triangle AMB_1 $, $ \triangle MBA_1 $ si intersecano in un punto.
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Drago96
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Re: TST francese

Messaggio da Drago96 » 10 mag 2012, 19:16

Cos'è $C_1$ ? Il piede dell'altezza da C? Oppure C stesso?
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kalu
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Re: TST francese

Messaggio da kalu » 10 mag 2012, 19:32

Scusa, mi è scappato un pedice di troppo :oops: era semplicemente C.
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Karl Zsigmondy
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Re: TST francese

Messaggio da Karl Zsigmondy » 10 mag 2012, 20:19

Intanto metto il punto a
a) La tesi equivale al fatto che $ MA_1B_1=A_1CB_1=\gamma $. Ora, detto N il punto medio di BC, ho che $ MA_1B_1=MNB_1 $ perché angoli alla circonferenza insistenti sullo stesso arco (crf di Feuerbach), ma dato che MN è parallelo ad AC ho che $ MNB_1=NB_1C $. Quindi la tesi equivale al fatto che $ NB_1C=NCB_1 $, ovvero che il triangolo $ NB_1C $ è isoscele in N. Si ha che $ CB_1=a\cdot cos\gamma \ ; \ CN=\frac{a}{2} $ e dal teorema di Carnot ottengo che $ B_1N=\frac{a}{2} $ quindi il triangolo $ NB_1C $ è isoscele in N da cui segue la tesi.
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Re: TST francese

Messaggio da kalu » 10 mag 2012, 20:56

Si! ora arriva la parte più difficile, che neanch'io sono riuscito a fare.. qualcuno ha qualche idea? :)
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Re: TST francese

Messaggio da bĕlcōlŏn » 10 mag 2012, 22:01

In realtà la parte b) sembrerebbe essere, ad un'occhiata attenta, più semplice della a). Si può parlare di un risultato più generale:

$ \textbf{Teorema di Miquel} $: In un triangolo $ABC$ siano $A_1$, $B_1$ e $C_1$ tre punti sui lati $BC$, $AC$ e $AB$. Allora le circonferenze $AB_1C_1$, $BA_1C_1$ e $CA_1B_1$ si intersecano in un punto.

Provate a dimostrare questo fatto più generale, da cui discende la tesi del punto b).
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Karl Zsigmondy
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Re: TST francese

Messaggio da Karl Zsigmondy » 10 mag 2012, 22:54

bĕlcōlŏn ha scritto:In realtà la parte b) sembrerebbe essere, ad un'occhiata attenta, più semplice della a). Si può parlare di un risultato più generale:

$ \textbf{Teorema di Miquel} $: In un triangolo $ABC$ siano $A_1$, $B_1$ e $C_1$ tre punti sui lati $BC$, $AC$ e $AB$. Allora le circonferenze $AB_1C_1$, $BA_1C_1$ e $CA_1B_1$ si intersecano in un punto.

Provate a dimostrare questo fatto più generale, da cui discende la tesi del punto b).
Ah, giusto... vabbé, si fa per angoli, angle-chasing facile. Ok! :wink:
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