Triangoli in Q

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amatrix92
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Triangoli in Q

Messaggio da amatrix92 » 09 mag 2012, 00:16

Nel piano cartesiano indichiamo con $ \mathbb Q^2 $ l'insieme dei punti $ (x,y) $ con coordinate razionali.

Esiste un triangolo equilatero con vertici in $ \mathbb Q^2 $ ?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Karl Zsigmondy
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Re: Triangoli in Q

Messaggio da Karl Zsigmondy » 09 mag 2012, 15:24

Mi è piaciuto, comunque, non esistono triangoli di questo tipo. Suppongo per assurdo che esista un triangolo siffatto. Suppongo WLOG che uno dei vertici sia nell'origine (solo per snellirmi i conti lo faccio) P=(0.0). Gli altri due avranno coordinate $ Q=(a,b) $ e $ R=(c,d) $ dove a, b, c, d sono ovviamente razionali. Ora considero il rettangolo formato dai vertici $ P=(0,0) \ ; \ S=(0,b) \ ; \ T=(c,b) \ ; U=(c,0) $. Allora avrò che: $ (PQR)=(PSTU)-(PSQ)-(QTR)-(RUP) $ dove con (...) indico l'area. Quindi:
$ (PQR)=bc-[\frac{ab}{2}+\frac{(c-a)(b-d)}{2}+\frac{cd}{2}]=\frac{bc-ad}{2} $ da cui segue che (PQR) è razionale.
Se PQR ha lato x, allora ho che $ (PQR)=\frac{x^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = q $ con $ q \in \mathbb{Q} $ da cui $ x^2=\frac{4q}{\sqrt{3}} $ da cui x irrazionale, ma $ x^2=a^2+b^2 $ per Pitagora, che è razionale perché a, b sono razionali. Ho ottenuto assurdo, quindi non esistono triangoli siffatti.
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Re: Triangoli in Q

Messaggio da ma_go » 09 mag 2012, 16:34

Karl Zsigmondy ha scritto:[...] da cui segue che (PQR) è razionale. [...]
bastava dire "pick" :)

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Karl Zsigmondy
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Re: Triangoli in Q

Messaggio da Karl Zsigmondy » 09 mag 2012, 16:51

ma_go ha scritto:
Karl Zsigmondy ha scritto:[...] da cui segue che (PQR) è razionale. [...]
bastava dire "pick" :)
Wow! Avrei usato Pick per la prima volta nella mia vita! :shock:
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Re: Triangoli in Q

Messaggio da zeitgeist505 » 09 mag 2012, 19:37

ma_go ha scritto: bastava dire "pick" :)
oppure utilizzare la formula matriciosa sull'area di un triangolo a coordinate note in un piano cartesiano :D

amatrix92
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Re: Triangoli in Q

Messaggio da amatrix92 » 09 mag 2012, 20:33

Bene Karl, effettivamente anche io l'avevo pensato con Pick.

Rilancio per il quale serve qualche idea in più: Quali poligoni regolari possono avere tutti i vertici in $ \mathbb Q^2 $

Testo nascosto:
Mi ricordo di un vecchio problema irrisolto di ma_go in Algebra che può essere molto utile per il rilancio.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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