Sia ABC un triangolo acutangolo e X la sua circonferenza circoscritta. Si prenda M punto medio dell'arco BC, N suo simmetrico rispetto al lato BC e L suo simmetrico rispetto ad AC. La circonferenza y passante per N,C,L interseca x in P. Sia inoltre H l'ortocentro di ABC. Si dimostri che le rette MH, BC, PN concorrono.
Oltre alla soluzione vorrei chiedervi secondo voi qual è il livello di difficoltà del problema. Io l'ho sentito durante una malefica riunione di fisici a Senigallia.
Intersezione di rette
Intersezione di rette
Ultima modifica di balossino il 23 apr 2012, 15:02, modificato 1 volta in totale.
Re: Intersezione di rette
Un paio di cosette:
1) $C$ è circocentro di $NML$ per costruzione
2) il simmetrico $H_A$ di $H$ rispetto a $BC$ sta notoriamente su $X$
Per il punto 2 $NH_A$ e $HM$ concorrono su $BC$ e sono pure simmetriche rispetto ad essa (volendo perchè $H_AHNM$ è un trapezio isoscele), quindi la tesi è equivalente a mostrare $H_A,N,P$ allineati, a sua volta equivalente ad esempio a $\angle NPC =\angle H_APC=90°-\gamma$. Quindi angoli (punto 1 + ciclicità varie): $\angle NPC=\angle NLC =90°-\frac{1}{2}\angle NCL =90°-\angle NML=90°-\gamma$.
Viene dalla gara delle ragazze, come livello direi Cesenatico facile (pronto a essere smentito, ma visti gli ultimi anni) e... penso di essere io quello di fronte a te a cena quando Julian ce l'ha raccontato
Confermi?
1) $C$ è circocentro di $NML$ per costruzione
2) il simmetrico $H_A$ di $H$ rispetto a $BC$ sta notoriamente su $X$
Per il punto 2 $NH_A$ e $HM$ concorrono su $BC$ e sono pure simmetriche rispetto ad essa (volendo perchè $H_AHNM$ è un trapezio isoscele), quindi la tesi è equivalente a mostrare $H_A,N,P$ allineati, a sua volta equivalente ad esempio a $\angle NPC =\angle H_APC=90°-\gamma$. Quindi angoli (punto 1 + ciclicità varie): $\angle NPC=\angle NLC =90°-\frac{1}{2}\angle NCL =90°-\angle NML=90°-\gamma$.
Viene dalla gara delle ragazze, come livello direi Cesenatico facile (pronto a essere smentito, ma visti gli ultimi anni) e... penso di essere io quello di fronte a te a cena quando Julian ce l'ha raccontato
Confermi?Re: Intersezione di rette
Uhmmm... nonlossòoooo... dipende da chi c'è dietro il tuo nome utente... e... no, basta, eri tu sicuramenteXDSonner ha scritto: Viene dalla gara delle ragazze, come livello direi Cesenatico facile (pronto a essere smentito, ma visti gli ultimi anni) e... penso di essere io quello di fronte a te a cena quando Julian ce l'ha raccontato
Però non era a cena la prima volta che l'ho sentita, eravamo in sala e ci stava lavorando insieme a un gruppetto quel ragazzo che ha vinto il premio per la miglior sperimentale.
Re: Intersezione di rette
Aspetta però, a prima vista mi era sembrato che volessi postare la soluzione completa, invece leggendola vedo che manca qualcosa. Cos'è $\gamma$?