disuguaglianza sul triangolo

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Mist
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disuguaglianza sul triangolo

Messaggio da Mist » 20 apr 2012, 22:08

Dato un triangolo $a,b,c$ ottusangolo, dimostrare che $a^3\cos{\alpha}+b^3\cos{\beta}+c^3\cos{\gamma} < abc$
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spugna
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Re: disuguaglianza sul triangolo

Messaggio da spugna » 10 mag 2012, 01:32

Notiamo per prima cosa che con un triangolo rettangolo si ha l'uguaglianza: infatti, supponendo ad esempio che $a$ sia l'ipotenusa, segue
$a^3\cos{90°}+b^3\cos{\beta}+c^3\cos{\gamma}=0+b^3 \cdot \dfrac{c}{a}+c^3 \cdot \dfrac{b}{a}=(b^2+c^2)\cdot \dfrac{bc}{a}=\dfrac{a^2bc}{a}=abc$
Tornando al caso di un triangolo qualunque, applichiamo il teorema di Carnot e riscriviamo il primo membro sostituendo $\cos{\alpha}$ con $\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ e simili, poi moltiplichiamo per $2abc$ e portiamo tutto al primo membro, ottenendo così una tesi equivalente del tipo $f(a,b,c)<0$. Ora, svolgere tutti i calcoli sarebbe lungo e noioso, tuttavia si può trovare $f(a,b,c)$ in un modo un po' più "azzardato": si nota facilmente che i lati compaiono sempre con esponenti pari, perciò poniamo $a^2=x$; considerando $b$ e $c$ come parametri, abbiamo che $x=b^2+c^2$ è sicuramente una radice del polinomio ottenuto, perché come detto sopra i triangoli rettangoli portano all'uguaglianza: ne consegue per il teorema di Ruffini che $f(a,b,c)$ è divisibile per $b^2+c^2-a^2$, ma anche per $a^2+c^2-b^2$ e per $a^2+b^2-c^2$ (il ragionamento è del tutto analogo). Siccome $f(a,b,c)$ è di sesto grado e abbiamo trovato tre fattori di secondo grado, si deve avere necessariamente $f(a,b,c)=k(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)$. Inoltre, poiché nella tesi i termini $a^6,b^6,c^6$ compaiono con il coefficiente $-1$, abbiamo $k=1$: ora si applica nuovamente Carnot e si ottiene
$f(a,b,c)=2bc\cos{\alpha} \cdot 2ac\cos{\beta} \cdot 2ab\cos{\gamma}=8a^2b^2c^2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}$
Se il triangolo è ottusangolo, esso ha due angoli acuti (coseno positivo) e ovviamente uno ottuso (coseno negativo), il che rende vera la tesi
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

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