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In un triangolo i tre lati misurano rispettivamente $ \frac{13}{2} \sqrt[3]{195} $, $ 7 \sqrt[3]{195} $, $ \frac{15}{2} \sqrt[3]{195} $. Per ogni suo punto interno $ P $ indichiamo con $ M_P $ il prodotto delle tre distanze di $ P $ dai lati del triangolo. Qual è, al variare di $ P $ all'interno del triangolo, il massimo valore che può assumere $ M_P $ ?

Probabilmente non è difficile, però mi viene una soluzione sbagliata.

Dette $ a,b,c $ le distanze di $ P $ dai tre lati allora, per AM-GM si ha che $ \left(\displaystyle\frac{a+b+c}{3}\right)^3 \geq a \cdot b \cdot c $, vale l'uguaglianza quando $ a=b=c $. Ma allora vuol dire che $ P $ è l'incentro di $ ABC $, il raggio dell'incerchio è $ r=\displaystyle\frac{S}{p}=2\cdot \sqrt[3]{195} $. Quindi al massimo il prodotto $ M_p=(2\cdot \sqrt[3]{195})^3=1560 $.

Anch'io l'avevo fatto così... ma la soluzione risulta errata. Dato che la soluzione corretta risulta $ 1568 $, a sto punto sono portato a pensare a un errore nel testo... mi sembra che fili perfettamente. Forse al posto di $ 195 $ il testo corretto era $ 196 $. L'ho preso dalla gara a squadre di Tor Vergata del 2009, problema 15.

Se non sbaglio il punto richiesto è il baricentro: infatti se chiamiamo per semplicità $x,y,z$ i lati e $a,b,c$ le distanze di $P$ dai lati corrispondenti abbiamo $\dfrac{ax+by+cz}{3} \ge \sqrt[3]{abcxyz}$
$\dfrac{ax}{2},\dfrac{by}{2},\dfrac{cz}{2}$ sono rispettivamente le aree dei triangoli $PBC,PAC,PAB$, perciò la loro somma sarà l'area di $ABC$, che chiameremo $S$:

$\dfrac{2S}{3} \ge \sqrt[3]{abcxyz} \Rightarrow \sqrt[3]{abc} \le \dfrac{2S}{3\sqrt[3]{xyz}}$

Ora svolgo i calcoli al secondo membro:

$\dfrac{2S}{3\sqrt[3]{xyz}}=\dfrac{2 \sqrt{\dfrac{21}{2} \sqrt[3]{195} \cdot \dfrac{7}{2} \sqrt[3]{195} \cdot 3 \sqrt[3]{195} \cdot 4 \sqrt[3]{195}}}{3\sqrt[3]{\dfrac{13}{2} \sqrt[3]{195} \cdot 7 \sqrt[3]{195} \cdot \dfrac{15}{2} \sqrt[3]{195}}}=\dfrac{42 \sqrt[3]{195^2}}{\dfrac{3}{2} \sqrt[3]{2730 \cdot 195}}=\dfrac{28}{\sqrt[3]{14}}=2 \sqrt[3]{196}$

Infine elevo tutto al cubo e viene $abc \le 8 \cdot 196 = 1568$

(l'uguaglianza si ha se e solo se $ax=by=cz$, cioè se $P$ divide $ABC$ in tre triangoli aventi la stessa area, e il punto con questa proprietà è proprio il baricentro)