La strada più corta

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spugna
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La strada più corta

Messaggio da spugna » 04 gen 2012, 00:42

Dato un parallelepipedo rettangolo, sia $L$ la lunghezza minima di un cammino (sulla sua superficie) che congiunge due vertici opposti. Determinare il minimo valore di $L$ che può essere associato a un parallelepipedo di volume unitario
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Re: La strada più corta

Messaggio da Drago96 » 05 gen 2012, 19:05

Sperando di non aver misinterpretato il significato di "vertici opposti" (che penso siano due vertici che non giacciono sulla stessa faccia) ho una soluzione, più algebrica che geometrica....

Siano $a,b,c$ i tre lati del parallelepipedo. Allora $a\cdot b\cdot c = 1$, e dobbiamo minimizzare $a+b+c$.
Diciamo che per AM-GM vale $\displaystyle{\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c}\leq\frac{a+b+c}{3}\Rightarrow a+b+c\geq 3}$ e dunque il valore minimo è 3, che si presenta nel caso in cui il parallelepipedo è un cubo di lato unitario :)
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Re: La strada più corta

Messaggio da Mike » 05 gen 2012, 19:29

un cammino lungo i lati non è conveniente; basta per esempio che fai le diagonali delle facce e ottieni un percorso più corto...

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Re: La strada più corta

Messaggio da Drago96 » 05 gen 2012, 19:32

Mike ha scritto:un cammino lungo i lati non è conveniente; basta per esempio che fai le diagonali delle facce e ottieni un percorso più corto...
Hai ragione.... :oops:
Chissà perchè ero convinto che si dovesse passare solo sui lati... :roll:
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Triarii
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Re: La strada più corta

Messaggio da Triarii » 05 gen 2012, 20:24

A me torna radice di 5 (basta stendere le 2 facce sul piano per accorgersi che il cammino più breve è quello che passa per il punto medio dello spigolo), solo che non mi riesce dimostrare che con il cubo ho il cammino più corto (anche se "intuitivamente" lo è). Spero di non aver preso una cantonata come al solito :P
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Re: La strada più corta

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 05 gen 2012, 21:14

M non ci dovrebbero essere tre cammini più brevi?
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $
$ \sqrt{(x+z)^2+y^2} $
$ \sqrt{(z+y)^2+x^2} $
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spugna
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Re: La strada più corta

Messaggio da spugna » 08 gen 2012, 15:06

karlosson_sul_tetto ha scritto:M non ci dovrebbero essere tre cammini più brevi?
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $
$ \sqrt{(x+z)^2+y^2} $
$ \sqrt{(z+y)^2+x^2} $
Ma se poni una certa condizione sai con certezza quale dei tre è il più corto... :roll:
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Re: La strada più corta

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 09 gen 2012, 13:08

spugna ha scritto:
karlosson_sul_tetto ha scritto:M non ci dovrebbero essere tre cammini più brevi?
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $
$ \sqrt{(x+z)^2+y^2} $
$ \sqrt{(z+y)^2+x^2} $
Ma se poni una certa condizione sai con certezza quale dei tre è il più corto... :roll:
Hai perfettamente ragione :oops:
Correggo con
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $ dove $ x,y\leq z $e $ x \cdot y \cdot z= 1 $ ma questo non porta a niente... Soltanto a una riformulazione del problema...
Per adesso sono arrivato ad un'approccio: presupponiamo che quella del cubo non sia il minimo. Quindi, esiste un'altro percorso su un'altro parallelepipedo:
$ \sqrt5 > \sqrt{(x+y)^2+z^2} $
E dato che ci interessano solo i numeri positivi:
$ 5> x^2+y^2+z^2 + \frac{2}{z} $
Ma non sono riuscito ad andare oltre :cry:
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Drago96
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Re: La strada più corta

Messaggio da Drago96 » 09 gen 2012, 15:04

karlosson_sul_tetto ha scritto:Correggo con
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $ dove $ x,y\leq z $ e $ x \cdot y \cdot z= 1 $
Non capisco il perchè di quella disuguaglianza... :cry:

Io ho provato a farlo così, anche se mi sa che ho dimenticato qualche condizione, perchè anch'io penso che la strada minore ci sia nel cubo, e viene $\sqrt5$... :?
Però questo è più piccolo, e tutti i passaggi mi sembrano leciti...

$\displaystyle{\sqrt{(x+y)^2+z^2}=\sqrt2\cdot\sqrt{\frac{(x+y)^2+z^2}{2}}\geq\sqrt2\cdot\frac{x+y+z}{2}=\sqrt2\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}+\frac{x+y+z}{6}\right)\geq}$
$\displaystyle{\geq\sqrt2\cdot\left(\sqrt[3]{x \cdot y \cdot z}+\sqrt[6]{\frac{x^2y^2z^2}{2^6}}\right)=\sqrt2\cdot\left(1+\frac1 2\right)=\frac{3\cdot\sqrt2}{2}}$
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Re: La strada più corta

Messaggio da spugna » 09 gen 2012, 15:28

Drago96 ha scritto:
karlosson_sul_tetto ha scritto:Correggo con
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $ dove $ x,y\leq z $ e $ x \cdot y \cdot z= 1 $
Non capisco il perchè di quella disuguaglianza... :cry:

Io ho provato a farlo così, anche se mi sa che ho dimenticato qualche condizione, perchè anch'io penso che la strada minore ci sia nel cubo, e viene $\sqrt5$... :?
Però questo è più piccolo, e tutti i passaggi mi sembrano leciti...

$\displaystyle{\sqrt{(x+y)^2+z^2}=\sqrt2\cdot\sqrt{\frac{(x+y)^2+z^2}{2}}\geq\sqrt2\cdot\frac{x+y+z}{2}=\sqrt2\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}+\frac{x+y+z}{6}\right)\geq}$
$\displaystyle{\geq\sqrt2\cdot\left(\sqrt[3]{x \cdot y \cdot z}+\sqrt[6]{\frac{x^2y^2z^2}{2^6}}\right)=\sqrt2\cdot\left(1+\frac1 2\right)=\frac{3\cdot\sqrt2}{2}}$
I passaggi non fanno una piega: il problema è che non possono verificarsi contemporaneamente tutti i casi di uguaglianza: infatti nel passaggio QM-AM si dovrebbe avere $x+y=z$, mentre in quello AM-QM è necessario che si abbia $x=y=z$, ma seguirebbe $x=0$, assurdo perché l'ipotesi è $xyz=1$
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Re: La strada più corta

Messaggio da Mike » 09 gen 2012, 17:52

Non sempre la soluzione dev'essere una figura regolare...

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Re: La strada più corta

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 09 gen 2012, 18:18

Drago96 ha scritto:
karlosson_sul_tetto ha scritto:Correggo con
$ \sqrt{(x+y)^2+z^2} $ dove $ x,y\leq z $ e $ x \cdot y \cdot z= 1 $
Non capisco il perchè di quella disuguaglianza... :cry:
Se apro le parentesi diventa $ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2xy} $
Presupponendo che non sono tutti e tre uguali,abbiamo tre formule per i percorsi che passano attraverso i punti medi degli spigoli:
$ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2zy} $
$ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2xz} $
$ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2xy} $
Chiamiamo z il lato più lungo, allora i tre polimeri: $ x^2+y^2+z^2+ 2xy $,$ x^2+y^2+z^2+ 2zy $ e $ x^2+y^2+z^2+ 2xz $, saranno uguali a parte l'ultimo monomero, che varia da polimero a polimero; il monomero sarà più piccolo quando non conterra il lato più lungo che noi abbiamo chiamato z. :wink:
Un'altro passo in avanti è il fatto che nessun lato dell'ipotetico parallelepipedo che abbia il cammino più breve del cubo sia maggiore di $ \sqrt5 $
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Re: La strada più corta

Messaggio da <enigma> » 09 gen 2012, 18:23

karlosson_sul_tetto ha scritto: Se apro le parentesi diventa $ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2xy} $
Presupponendo che non sono tutti e tre uguali,abbiamo tre formule per i percorsi che passano attraverso i punti medi degli spigoli:
$ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2zy} $
$ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2xz} $
$ \sqrt{x^2+y^2+z^2+ 2xy} $
Chiamiamo z il lato più lungo, allora i tre polimeri: $ x^2+y^2+z^2+ 2xy $,$ x^2+y^2+z^2+ 2zy $ e $ x^2+y^2+z^2+ 2xz $, saranno uguali a parte l'ultimo monomero, che varia da polimero a polimero; il monomero sarà più piccolo quando non conterra il lato più lungo che noi abbiamo chiamato z. :wink:
Un'altro passo in avanti è il fatto che nessun lato dell'ipotetico parallelepipedo che abbia il cammino più breve del cubo sia maggiore di $ \sqrt5 $
:shock: :shock: :shock:
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
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Re: La strada più corta

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 09 gen 2012, 18:51

<enigma> ha scritto: :shock: :shock: :shock:
Che c'è? :shock:
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Re: La strada più corta

Messaggio da Triarii » 09 gen 2012, 20:28

Non ho letto il tuo messaggio, però i monomeri in un forum di matematica... xD
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