Cesenatico 2009 problema 2

[Omar93]

Sia ABCD un quadrato di centro O. Si costruiscano due triangoli isosceli BCJ e CDK,
esterni al quadrato, di base BC e CD rispettivamente e congruenti fra loro. Sia poi M il
punto medio di CJ. Si provi che le rette OM e BK sono perpendicolari.

Ho fatto il problema 1 ora sto facendo questo ma non capisco quel provi.

[NoAnni]

Sia ABCD un quadrato di centro O. Si costruiscano due triangoli isosceli BCJ e CDK,
esterni al quadrato, di base BC e CD rispettivamente e congruenti fra loro. Sia poi M il
punto medio di CJ. Si provi che le rette OM e BK sono perpendicolari.

Ho fatto il problema 1 ora sto facendo questo ma non capisco quel provi.

Si provi che le rette OM e BK sono perpendicolari. = Si dimostri che le rette OM e BK sono perpendicolari.

[Omar93]

Che stupido sono! Ok grazie

[Claudio.]

Visto che ci siamo...usando un pizzico di trigonometria è facile...
Chiamo $H$ la proiezione di $M$ su $\overline{OJ}$, $\alpha=M\hat OH$ e $\beta=A\hat BK$.
L'angolo tra le due rette equivale a $180°-(\alpha+\beta)$ quindi dobbiamo mostrare che $\alpha+\beta=90°$
Adesso gli angoli sono entrambi acuti e usando la relazione tra angoli complementari $\tan{\alpha}\cdot\tan{\beta}=1$ si mostra facilmente:
Chiamo $l$ il lato del quadrato e $h$ l'altezza dei due triangoli congruenti, abbiamo: $\tan{\alpha}\cdot\tan{\beta}=\frac{l}{2l+2h}\cdot\frac{2l+2h}{l}=1$
Strano per un cesenatico (Con un ragionamento teorico sul coefficiente angolare si arriva alla relazione facilmente e senza trigonometria).

[rocco1993]

Ma potremmo risolverlo con la geometria analitica, anche se venissero calcoli complicati? Voglio dire, se lo risolvessimo con la geometria analitica ci verrebbero dati tutti i punti?

[Claudio.]

Credo proprio di si, ma ci metteresti molto di più e molta più fatica ^^ Comunque alla fine si può fare in molti modi questo, per esempio pensando le rette come rotazione degl'assi del qudrato.

[Mist]

Giusto per fare un po' di divulgazione... si possono usare i vettori. Usando il prodotto scalare, preso come centro $O$ infatti la tesi si riduce a dimostrare che $\displaystyle \left < \vec{M}, \vec{B}-\vec{K} \right > = \left < \frac{\vec{J}+\vec{C}}{2}, \vec{B}-\vec{K} \right > = 0$. E questo, usando le proprietà che trovate nel link sopra (e che si fanno al basic) e ricordando che $|\vec{J}| =|\vec{K}|; \quad |\vec{C}| =|\vec{B}|$, è veramente facile facile

[Claudio.]

Credo che facendo come ho detto prima si concluda usando qualche talete e che la somma degli angoli in un trianholo è 180...