Quadrilatero convesso e circocerchi tangenti
Quadrilatero convesso e circocerchi tangenti
Sia dato un quadrilatero convesso $ABCD$ in cui $\angle DAB+2\angle BCD=180°.$ Il cerchio inscritto nel triangolo $ABD$ è tangente ai lati $AB$ ed $AD$ rispettivamente nei punti $K$ ed $L$. Mostrate che i circocerchi di $AKL$ e $BCD$ sono tangenti.
Re: Quadrilatero convesso e circocerchi tangenti
Sia O il circocentro di BCD, allora $\angle DAB+\angle BOD=180°$ e questo unito a $OB=OD$ ci dice ABOD ciclico con O punto medio dell'arco BD, quindi OA è bisettrice di $\angle BAD$ e dunque A,I,O allineati.
Adesso $\angle BIK = 90° +\frac{1}{2}\angle BAD =180°-\angle BCD$, quindi BIDC è ciclico. Anche AKIL è ciclico (due angoli retti) e il centro X sta sulla retta AO. Abbiamo quindi due circonferenze passanti per I con centri allineati con esso: questo basta per dire che le circonferenze sono tangenti in I.
Adesso $\angle BIK = 90° +\frac{1}{2}\angle BAD =180°-\angle BCD$, quindi BIDC è ciclico. Anche AKIL è ciclico (due angoli retti) e il centro X sta sulla retta AO. Abbiamo quindi due circonferenze passanti per I con centri allineati con esso: questo basta per dire che le circonferenze sono tangenti in I.