16. Area massima (staffetta)

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Anér
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16. Area massima (staffetta)

Messaggio da Anér » 28 giu 2011, 19:19

Siano $a,b,c,d$ dei segmenti che soddisfano la disuguaglianza triangolare (ognuno è minore della somma degli altri tre).
Dimostrare che fra tutti i quadrilateri che hanno i lati di lughezze, nell'ordine, $a,b,c,d$, quello di area massima è il quadrilatero ciclico.
Bonus (ma non fa parte della staffetta). Dato $n\in\mathbb{N},n\geq 4$ e $n$ segmenti $a_1,\cdots , a_n$ che soddisfano la disuguaglianza triangolare, fra tutti i poligoni che hanno i lati di lunghezze, nell'ordine, $a_1,\cdots , a_n$, quello di area massima è il pligono ciclico.
Bonus ulteriore. Fra tutte le curve semplici chiuse di una certa lunghezza quella che racchiude l'area maggiore è la circonferenza.

I bonus non rientrano nella staffetta perché, soprattutto per il secondo, penso servano strumenti di matematica superiore se si vuole essere rigorosi. Invece per il problema con il quadrilatero trovate una soluzione elementare se potete (sennò va bene anche una cannoneggiante).

Qualcuno sa se questo fatto ha un nome?
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<enigma>
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Re: 16. Area massima (staffetta)

Messaggio da <enigma> » 28 giu 2011, 19:57

Anér ha scritto:Bonus ulteriore. Fra tutte le curve semplici chiuse di una certa lunghezza quella che racchiude l'area maggiore è la circonferenza.

I bonus non rientrano nella staffetta perché, soprattutto per il secondo, penso servano strumenti di matematica superiore se si vuole essere rigorosi. Invece per il problema con il quadrilatero trovate una soluzione elementare se potete (sennò va bene anche una cannoneggiante).

Qualcuno sa se questo fatto ha un nome?
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Drago96
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Re: 16. Area massima (staffetta)

Messaggio da Drago96 » 29 giu 2011, 01:27

Questa è dovuta (quasi) tutta a wikipedia... :roll:
Per la formula di Brahmagupta sia ha che l'area di un quadrilatero è data da $\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot cos(\alpha )^2}$ dove p è il semiperimetro e $\alpha$ la metà della somma di due angoli opposti. Dato che il quadrato del coseno è compreso tra 0 e 1, si vede immediatamente che l'area è maggiore quando il coseno è 0, ovvero $\alpha =90$ , che sia ha solo nel caso di un quadrilatero ciclico...

Non contate questa dimostrazione in quanto, volendo controllare delle cose sui quadrilateri ciclici, mi sono imbattuto in questa fantastica formula! (e si mette nel cassetto insieme a Erone...)
Comunque potrebbe andare bene?
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Re: 16. Area massima (staffetta)

Messaggio da Anér » 29 giu 2011, 12:15

Bella la formula di Brahmagupta, finora la conoscevo soltanto per i quadrilateri ciclici. Qualcuno ne ha una dimostrazione elegante? Io a questo punto lascio il testimone a Drago96 perché il problema è diventato poco interessante.
Se volete vi dico come l'avevo fatto io: se chiamo $x,y$ le diagonali del quadrilatero, ho per Tolomeo $xy\leq ac+bd$, con uguaglianza nel quadrilatero ciclico. D'altra parte se chiamo $\theta$ l'angolo formato dalle diagonali e considero le diagonali come vettori, ho che $|\vec{x}\cdot \vec{y}|=|xy\cos\theta|=1/2 |a^2+c^2-b^2-d^2|$, da cui $|\cos\theta|$ è inversamente proporzionale a $xy$ ed è minimo nel quadrilatero ciclico. Allora nel quadrilatero ciclico $|\sin\theta|=\sqrt{1-\cos^2\theta}$ è massimo, dunque anche $1/2| xy\sin\theta|$ assume valore massimo, ovvero l'area è massima.
@enigma: certo, il secondo bonus è il problema isoperimetrico; attraverso i due lemmi che lo precedono si arriva alla sua soluzione in maniera abbastanza semplice (con Weiestrass e qualche altra nozione su limiti e simili si conclude).
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Re: 16. Area massima (staffetta)

Messaggio da Drago96 » 29 giu 2011, 19:54

Ho un paio di problemi nel continuare la staffetta... :(
1)non so dove trovare degli esercizi
2)non so quanto possa essere corretta la dimostrazione che faccio (a dir la verità è molto più probabile che non riesca proprio a farla)

Quindi o qualcuno continua la staffetta, magari chi dimostra il bonus, oppure mi suggerite dove trovare esercizi e poi dopo un (bel) po' di tempo ne posterò uno di cui ho trovato la soluzione (=molto facile)... :)

P.S: non ho capito la tua dimostrazione... :cry:
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Re: 16. Area massima (staffetta)

Messaggio da <enigma> » 29 giu 2011, 20:04

Drago96 ha scritto:Ho un paio di problemi nel continuare la staffetta... :(
1)non so dove trovare degli esercizi
2)non so quanto possa essere corretta la dimostrazione che faccio (a dir la verità è molto più probabile che non riesca proprio a farla)

Quindi o qualcuno continua la staffetta, magari chi dimostra il bonus, oppure mi suggerite dove trovare esercizi e poi dopo un (bel) po' di tempo ne posterò uno di cui ho trovato la soluzione (=molto facile)... :)

P.S: non ho capito la tua dimostrazione... :cry:
Io direi che tocca al primo che risolve il bonus, e se entro una settimana non ci arriva nessuno continua il primo che capita.
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Re: 16. Area massima (staffetta)

Messaggio da Anér » 30 giu 2011, 21:24

Come volete, ma il bonus, anche il primo, temo non si faccia in maniera elementare. Perciò propongo che a continuare la staffetta sia chi dimostra il bonus in qualche modo o chi dimostra la formula di Brahmagupta, che per ora è stata solo enunciata. Se tra una dozzina di giorni non è successo nulla allora Drago96 proporrà il nuovo problema, chiedendo congiglio a enigma se sarà ancora in dubbio.
@Drago96: L'area di un quadrilatero è la metà del prodotto delle diagonali per il |seno| dell'angolo compreso. Il prodotto delle diagonali per Tolomeo è massimo quando il quadrilatero è ciclico; il |coseno| è minimo in questo caso, perché il prodotto scalare delle diagonali è costante, dunque nel caso del quadrilatero ciclico è massimo anche il |seno|, da cui è massima l'area.
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Re: 16. Area massima (staffetta)

Messaggio da flexwifi » 01 lug 2011, 14:02


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Re: 16. Area massima (staffetta)

Messaggio da Anér » 01 lug 2011, 17:25

Ok, flexwifi, puoi proporre il nuovo problema.
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Re: 16. Area massima (staffetta)

Messaggio da flexwifi » 01 lug 2011, 17:36

Ho solo linkato una soluzione. Inoltre al momento non ho problemi da proporre. Quindi chiunque abbia un problema interessante da proporre e' libero di farlo per continuare la staffetta.

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Re: 16. Area massima (staffetta)

Messaggio da Anér » 01 lug 2011, 18:09

Boh, allora piazzo io un nuovo problema
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