15. Tangenze, concorrenze e allineamenti

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Sonner
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15. Tangenze, concorrenze e allineamenti

Messaggio da Sonner » 20 giu 2011, 19:48

$ABC$ triangolo, $DEF$ triangolo dei punti di tangenza dell'incerchio. Costruisco 3 circonferenze tangenti all'incerchio e al circocerchio in $D,K$ la prima, $E,M$ la seconda, $F,N$ la terza. Allora:
1) $DK, EM, FM$ concorrono in un punto $P$;
2) $P$, il circocentro di $ABC$ e l'ortocentro di $DEF$ sono allineati.

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exodd
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Re: 15. Tangenze, concorrenze e allineamenti

Messaggio da exodd » 21 giu 2011, 17:40

le 3 circonferenze non sono univocamente determinate ;)
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

ileo83
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Re: 15. Tangenze, concorrenze e allineamenti

Messaggio da ileo83 » 21 giu 2011, 20:09

chiedo scusa: una buona referenza con tutte le cose sui triangoli?
incentro, excentro etc etc
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Anér
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Re: 15. Tangenze, concorrenze e allineamenti

Messaggio da Anér » 28 giu 2011, 14:18

@ileo83: in questo momento non mi viene in mente cosa consigliarti, ma termini comuni come incentro ed excentro puoi trovarli facilmente su internet.
Diamo i nomi alle cose: $\Gamma$ è la cfr circoscritta ad ABC, $\gamma$ quella inscritta, $\gamma_a$, $\gamma_b$ e $\gamma_c$ sono le altre tre circonferenze. Come ha notato exodd, queste non sono univocamente determinate; io impongo che $\gamma_a$ si trovi nel semipiano opposto rispetto ad A, delimitato dalla retta BC, e analogamente per le altre cfr.
Sia O il centro di $\Gamma$, I il centro di $\gamma$, H l'ortocentro di DEF.
Sia P il centro di similitudine interno tra $\Gamma$ e $\gamma$. Allora D è il centro di similitudine interno tra $\gamma$ e $\gamma_a$, mentre K è il centro di similitudine esterno tra $\Gamma$ e $\gamma_a$, dunque P,D,K sono allineati, e allo stesso modo sono allineati anche P,E,M da un lato e P,F,N dall'altro.
Se P e O coincidono, allora O coincide anche con I (difatti P divide il segmento OI in due parti proporzionali ai raggi di $\Gamma$ e $\gamma$, dunque se una parte è nulla lo è anche l'altra, da cui OI=0), dunque ABC è equilatero e il problema diventa banale.
Altrimenti bisogna dimostrare che H giace su OP, ovvero su OI. Chiamiamo D'E'F' i punti medi di EF, FD, DE. Allora un'inversione rispetto a $\gamma$ scambia le coppie di punti (A,D'), (B,E'),(C,F'), perché, ad esempio, I,D',A sono allineati e il triangolo AEI è rettangolo in E e D' è il piede dell'altezza da E, per cui per il primo teroema di Euclide $IE^2=ID'\cdot IA$. Insomma $\Gamma$ attraverso l'inversione si trasforma nella circonferenza $\omega$ per D'E'F', ovvero nella circonferenza di Feuerbach di DEF, il cui centro chiameremo N. Si ha che OI è un diametro per $\Gamma$, ovvero $\Gamma$ è simmetrica rispetto a OI, per cui anche $\omega$ è simmetrica rispetto a OI, ovvero N giace su OI. D'altra parte I, N, H sono allineati sulla retta di Eulero di DEF, dunque sulla retta IN giacciono sia H che O, ovvero O,H,I sono allineati.
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Anér
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Re: 15. Tangenze, concorrenze e allineamenti

Messaggio da Anér » 28 giu 2011, 19:20

Ecco il nuovo problema:
viewtopic.php?f=14&t=16059
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Nabir Albar
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Re: 15. Tangenze, concorrenze e allineamenti

Messaggio da Nabir Albar » 02 lug 2011, 13:05

Un'altra simile senza inversione:
Anch'io suppongo che le tre circonferenze siano esterne rispetto al triangolo. L'omotetia di centro $K$ che manda la circonferenza relativa ad $A$ nella crf. circoscritta $\Gamma$ manda anche $BC$ nella parallela a $BC$ che tange $\Gamma$ in $A_1$, da cui $K,D,A_1$ allineati.
Inoltre l'omotetia di fattore negativo che manda la crf. inscritta in $\Gamma$ trasforma $BC$ sempre in quella tangente, quindi il centro dell'omotetia sta su $DA_1$ e analogamente su $EB_1,FC_1$ (definendo $B_1,C_1$ allo stesso modo), da cui la tesi del punto a).
Sia $H$ l'ortocentro di $DEF$ e $A_2,B_2,C_2$ i piedi delle altezze in questo triangolo.
$H$ è l'incentro di $A_2B_2C_2$ (fatto noto, si dimostra per esempio osservando che $\angle B_2A_2H=\angle B_2FH=\frac{\pi}{2}-\angle EDF$ e $\angle C_2A_2H=\angle C_2EH=\frac{\pi}{2}-\angle EDF$ grazie ai vari quadrilateri ciclici).
Inoltre $A_2B_2\parallel AB$ e cicliche, essendo $\angle FA_2B_2=\angle FHB_2=\angle FDE=\angle AFE$. Dunque esiste un'omotetia di centro $Q$ che trasforma $A_2B_2C_2$ in $ABC$ e per quanto detto manda $H$ nell'incentro $I$ di $ABC$, quindi $Q$ sta sulla retta di Eulero ($HI$) di $DEF$.
Il centro $N$ della crf. di Feuerbach di $A_1B_1C_1$ è il circocentro di $A_2B_2C_2$, che viene trasformato in $O$ da questa omotetia, quindi $O$ sta su $QN$. Essendo $Q,N$ sulla retta di Eulero di $DEF$, questa coincide con $QN$, quindi $H,I,O$ sono allineati. La tesi b) segue dal fatto che $P$ è il centro dell'omotetia (di fattore negativo) che manda la crf. inscritta in $\Gamma$.

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