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Dove va una circonferenza rispetto a un'inversione spaziale?

Inviato: 13 mag 2011, 20:46
da dario2994
Definisco come è ovvio fare l'inversione rispetto ad una sfera nello spazio.
E dopo questa lunga premessa ecco il domandone: in cosa viene mandata una circonferenza generica da un'inversione rispetto ad una sfera?

p.s. chi lo risolve in meno di 2 minuti si trattenga!!!
p.p.s. se non è chiaro il testo chiedete ;)

Re: Dove va una circonferenza rispetto a un'inversione spazi

Inviato: 13 mag 2011, 21:50
da Gigi95
Ho una soluzione analitica qualitativa, cioè dico in che cosa va la circonferenza, ma non mi sono impegnato a vedere molte caratteristiche dell'immagine della circonferenza, nascondo quello che ho trovato così i più curiosi possono sbirciare, poi se vi accontentate di qualcosa di qualitativo scrivo la mia soluzione.
Testo nascosto:
Una circonferenza o una retta

Re: Dove va una circonferenza rispetto a un'inversione spazi

Inviato: 13 mag 2011, 22:09
da dario2994
Sì la risposta è quella giusta... ma c'è un bel modo per mostrarlo... che non usa contazzi ;)

Re: Dove va una circonferenza rispetto a un'inversione spazi

Inviato: 14 mag 2011, 11:36
da Gigi95
Infatti dopo ne ho trovato uno sintetico :D

Re: Dove va una circonferenza rispetto a un'inversione spazi

Inviato: 15 mag 2011, 17:45
da dario2994
Beh... piazzala ;)

Re: Dove va una circonferenza rispetto a un'inversione spazi

Inviato: 15 mag 2011, 20:12
da Gigi95
Lemma Se una figura giace su un piano passante per il centro di inversione, l'inversione sferica si riduce ad un'inversione circolare
Ciò è vero poiché ogni retta che congiunge un punto della figura col centro $ O $ di inversione interseca la sfera in un punto appartenente alla circonferenza intersezione tra il piano considerato e la sfera invertente.

Guardiamo la circonferenza come un'intersezione tra una sfera e un piano.
L'immagine dell'intersezione di due figure è l'intersezione delle immagini delle due figure.
Una sfera va in una sfera o in un piano
Si consideri un piano passante per $ O $ e per il centro della sfera da invertire $ (O') $, tale piano taglia diametralmente la sfera, l'immagine dell'intersezione tra il piano e la sfera sta sullo stesso piano (lemma), e poiché l'intersezione tra un piano e una sfera è una circonferenza, l'immagine sarà una circonferenza o una retta passante per $ O $ (è una retta se $ O $ appartiene alla superficie della sfera da invertire). Si consideri un altro piano passante per $ O $ e è per $ O' $, tale piano (incluse le figure presenti su di esso) è ottenuto da una rotazione rispetto all'asse $ OO' $ del piano precedentemente considerato, quindi anche l'immagine della circonferenza intersezione tra la sfera e il piano ora considerato sarà ottenuta da una rotazione rispetto all'asse $ OO' $, quindi l'immagine dell'intera sfera si otterrà ruotando la figura ottenuta e sarà quindi una sfera se $ O $ non sta sulla sfera da invertire, mentre sarà un piano non passante per $ O $ se esso sta sulla superficie della sfera invertita.
Un piano va in una sfera passante per $ O $ o in sè stesso
Se $ O $ appartiene al piano da invertire si ha per il lemma che la sua immagine sarà se stesso.
Se il piano non passa per $ O $, l'immagine del piano sarà una figura la cui immagine è il piano stesso, ma, come è stato visto precedentemente, la figura avente come immagine il piano stesso è una sfera passante per $ O $, quindi il piano andrà in una sfera passante per $ O $.

Quindi l'immagine di una circonferenza sarà l'intersezione di due sfere (e quindi una circonferenza), oppure di una sfera ed un piano (e quindi una circonferenza) oppure di due piani (e quindi una retta).

Re: Dove va una circonferenza rispetto a un'inversione spazi

Inviato: 15 mag 2011, 20:30
da dario2994
Perfetto :D
È identica alla mia :)

Re: Dove va una circonferenza rispetto a un'inversione spazi

Inviato: 16 mag 2011, 14:28
da Gigi95
Proporrei una generalizzazione che mi è appena venuta in mente e che quindi non ho risolto (né so se esiste soluzione):
Dove va una sfera $ k-dimensionale $ se invertita rispetto ad una sfera $ n-dimensionale $ con $ n\geq k $?