allineamento

[Euler]

Sia ABC un triangolo scaleno e acutangolo, $\Gamma$ la sua circonferenza circoscritta, K il piede della bisettrice relativa al vertice A. Sia M il punto medio dell’arco BC che contiene A. Detta A' la seconda intersezione di MK con $\Gamma$, sia T l’intersezione delle tangenti a $\Gamma$ in A e in A'. Sia inoltre R l’intersezione della perpendicolare ad AK per A e della perpendicolare ad A'K per A'. Si provi che T,R e K sono allineati.
Per chi lo volesse questo hint è potente:

Testo nascosto:

T è il punto medio di RK

[paga92aren]

Esercizio interessante quindi consiglio a tutti di provarci e nascondo la soluzione.

Testo nascosto:

D è il punto medio dell'altro arco BC.
1)BCKR allineati (BCK è per costruzione): MOD allineati e perpendicolare a BC quindi mi basta dimostrare che RK è perpendicolare a MD.
Gli angoli $\widehat{MAD}$ e $\widehat{MA'D}$ sono retti perché insistono sul diametro MD, quindi K è l'ortocentro del triangolo MDR e l'altezza RK è perpendicolare alla base MD.
2) T è allineato con RK: mi basta dimostrare che T è il centro cerchio passante per AA'KR dato che KR è un diametro perché gli angoli in A e in A' sono retti.
Chiamo $\alpha$ l'angolo $\widehat{A'MD}$ che è uguale a $\widehat{A'RK}$ perché complementari di $\widehat{MDR}$. L'angolo al centro $\widehat{A'OD}=2\alpha$.
Analogamente $\widehat{KRA}=\beta$ e $\widehat{AOM}=2\beta$. Poiché OMD sono allineati $\widehat{ATA'}=2(\alpha +\beta)$ e $\widehat{ARA'}=\alpha +\beta$.
Sappiamo che T appartiene all'asse di AA' (lo stesso vale per il centro della circonferenza) e l'angolo in T che insiste su AA' è il doppio dell'angolo alla circonferenza $\widehat{ARA'}$ quindi uguale all'angolo al centro. Di conseguenza T è il centro della circonferenza, che equivale alla tesi.

[Euler]

Complimenti bella Quella ufficiale è leggermente diversa ma l'idea di fondo è la stessa...anch'io consiglio a tutti di provarci senza leggere la soluzione di paga o quella ufficiale (a chi interessasse questo era cesenatico 2009/5)