Esercizio 9 della fase provinciale di Febbraio 2011

[Markus93]

Salve!
Volevo chiedere informazioni su questo esercizio.. o, meglio, capire perchè il mio modo di ragionare è sbagliato xD. Please, aiutatemi!

9. Da un punto L partono due strade rettilinee che formano un angolo acuto alfa. Lungo una delle due
strade ci sono due lampioni, posizionati in P e Q, tali che LP = 40 m e LQ = 90 m. Eva si trova
in E sull’altra strada, e vede i due lampioni sotto un angolo P b EQ. A che distanza da L si trova
Eva, se P b EQ ha la massima ampiezza possibile?
(A) 40 m (B) 60 m (C) 65 m (D) 90 m (E) la distanza dipende da alfa.

In primis, mi accertate che dato un segmento AB di un triangolo e fissata l'altezza relativa ad esso, l'angolo formato dal vertice opposto sarà massimo se il triangolo è isocele?
Se questo è vero, allora preso il caso di questo esercizio, fissata la base PQ con annesso (sulla stessa retta) il punto L, consideriamo l'asse di PQ: secondo quanto detto prima, il vertice E dovrà trovarsi qui sopra affinchè l'angolo sia massimo. Fissato un qualunque punto E, da questo possiamo far partire la retta passante per L, così da formare l'angolo alfa iniziale.... ma, al variare di E (e quindi dell'angolo alfa), varierà il segmento EL... no? xD

Grazie in anticipo!

Marco

[phi]

In primis, mi accertate che dato un segmento AB di un triangolo e fissata l'altezza relativa ad esso, l'angolo formato dal vertice opposto sarà massimo se il triangolo è isocele?

Sono sicura che puoi accertartene tu stesso, e postare una dimostrazione: anzi, ti invito a farlo!
Ciò detto, disgraziatamente questo simpatico fatto ha ben poca attinenza col problema originale.

consideriamo l'asse di PQ: secondo quanto detto prima, il vertice E dovrà trovarsi qui sopra affinchè l'angolo sia massimo

Come again?
Ero rimasta che, fissata l'altezza (cioè, nel tuo caso, la distanza di E dalla retta PQ), la cosa migliore da fare è prendere E sull'asse di PQ. Ma perché mai la distanza di E da PQ dovrebbe essere fissa? Lo sarebbe se E viaggiasse su una retta parallela alla retta PQ, e non è certo questo il caso. Tu hai dimostrato (o meglio vorresti aver dimostrato) precisamente che, dato E sull'asse di PQ, PEQ è un angolo maggiore di tutti gli angoli PFQ, dove F sta sulla parallela a PQ per E. Ma che ne sai degli angoli che si formano quando F sta sulla retta LE, che sono poi quelli che t'interessano?

[Markus93]

consideriamo l'asse di PQ: secondo quanto detto prima, il vertice E dovrà trovarsi qui sopra affinchè l'angolo sia massimo

Come again?
Ero rimasta che, fissata l'altezza (cioè, nel tuo caso, la distanza di E dalla retta PQ), la cosa migliore da fare è prendere E sull'asse di PQ. Ma perché mai la distanza di E da PQ dovrebbe essere fissa? Lo sarebbe se E viaggiasse su una retta parallela alla retta PQ, e non è certo questo il caso. Tu hai dimostrato (o meglio vorresti aver dimostrato) precisamente che, dato E sull'asse di PQ, PEQ è un angolo maggiore di tutti gli angoli PFQ, dove F sta sulla parallela a PQ per E. Ma che ne sai degli angoli che si formano quando F sta sulla retta LE, che sono poi quelli che t'interessano?

mmm... penso di aver capito cosa vuoi dire. Però devo ancora convincermi del tutto. Provo a riformularmi.
Preso il segmento LPQ, e fatta partire da L una qualunque retta (e quindi un qualunuque angolo alfa), per far sì che sia PEQ massimo, E dovrà trovarsi sempre sull'asse di PQ (e quindi l'intersezione di questo con la retta LE)... no?

Grazie comunque del tentativo di farmi capire!

[spugna]

Preso il segmento LPQ, e fatta partire da L una qualunque retta (e quindi un qualunuque angolo alfa), per far sì che sia PEQ massimo, E dovrà trovarsi sempre sull'asse di PQ (e quindi l'intersezione di questo con la retta LE)... no?

Credevo che la spiegazione di phi fosse abbastanza chiara... vabbè, provo a farti un esempio.
Dato il segmento PQ, prendi due rette parallele a esso e chiamale r e s (in modo che s sia la più lontana) e chiama S l'intersezione tra s e l'asse di PQ: se tracci la circonferenza passante per P,Q e S, essa interseca r in due punti A e B. Per il teorema degli angoli alla circonferenza avrai $ \widehat{PAQ}=\widehat{PSQ}=\widehat{PBQ} $. Se sposti A verso l'asse di PQ, l'angolo $ \widehat{PAQ} $ aumenterà gradualmente, e quindi risulterà maggiore di $ \widehat{PSQ} $, ma questo non significa che PAQ debba essere per forza isoscele (se riuscissi a postare un'immagine forse capiresti meglio...)

[Markus93]

Credevo che la spiegazione di phi fosse abbastanza chiara... vabbè, provo a farti un esempio.
Dato il segmento PQ, prendi due rette parallele a esso e chiamale r e s (in modo che s sia la più lontana) e chiama S l'intersezione tra s e l'asse di PQ: se tracci la circonferenza passante per P,Q e S, essa interseca r in due punti A e B. Per il teorema degli angoli alla circonferenza avrai $ \widehat{PAQ}=\widehat{PSQ}=\widehat{PBQ} $. Se sposti A verso l'asse di PQ, l'angolo $ \widehat{PAQ} $ aumenterà gradualmente, e quindi risulterà maggiore di $ \widehat{PSQ} $, ma questo non significa che PAQ debba essere per forza isoscele (se riuscissi a postare un'immagine forse capiresti meglio...)

Mmm... non mi ritrovo totalmente.
Primus, r deve essere a una distanza particolare affinchè la circonferenza lo intersechi, no? non basta che la sua distanza da PQ rispetto a quella di s da PQ sia minore.. no?
Fatto ciò, per far sì che $ \widehat{PAQ}=\widehat{PSQ}=\widehat{PBQ} $, c'è bisogno che PQ sia diametro e quindi PSQ retto, no?
E se A si avvicina agli assi (suppongo tu intenda lungo la retta s e non lungo l'arco di circonferenza AB, no?), mi pare chiaro (almeno a vista xD) che il suo angolo con PQ aumenti... ma non risulterà comunque massimo se A si trova sull'asse di PQ?
Sì, penso che un disegno sia meglio.. anche perchè sinceramente non ho capito benissimo cosa questo centri col problema... scusa la mia bacatezza
(e scusa tutti i miei ,no? che noto essere fastidiosi xD..no?)

[Sonner]

OK ci provo io (così vediamo se anch'io ho davvero capito).

(1) Fissati due punti A,B, il luogo dei punti C tali che $ \angle ACB $ è costante è formato da due archi di circonferenza.

(2) Ora consideriamo solo l'arco e il semipiano sopra AB. Allora se D è un altro punto del piano si avrà $ \angle ADB > \angle ACB $ se D è interno all'arco ACB, $ \angle ADB = \angle ACB $ se D sta sull'arco, $ \angle ADB < \angle ACB $ se è esterno all'arco.

(3) Veniamo alla configurazione dell'esercizio, ossia retta r per AB, retta s che interseca r in un punto esterno ad AB formando un angolo acuto. Traccio la circonferenza per A,B e tangente a s in C. Ci sei che a questo punto ho finito? Infatti se D è un altro punto su s, sarà sempre esterno alla circonferenza, quindi l'angolo sarà sempre minore.

[Markus93]

OK ci provo io (così vediamo se anch'io ho davvero capito).

(1) Fissati due punti A,B, il luogo dei punti C tali che $ \angle ACB $ è costante è formato da due archi di circonferenza.

(2) Ora consideriamo solo l'arco e il semipiano sopra AB. Allora se D è un altro punto del piano si avrà $ \angle ADB > \angle ACB $ se D è interno all'arco ACB, $ \angle ADB = \angle ACB $ se D sta sull'arco, $ \angle ADB < \angle ACB $ se è esterno all'arco.

(3) Veniamo alla configurazione dell'esercizio, ossia retta r per AB, retta s che interseca r in un punto esterno ad AB formando un angolo acuto. Traccio la circonferenza per A,B e tangente a s in C. Ci sei che a questo punto ho finito? Infatti se D è un altro punto su s, sarà sempre esterno alla circonferenza, quindi l'angolo sarà sempre minore.

mmm... quindi l'angolo ADB sarà sempre minore dell'angolo ACB, anche se AB non è diametro, come nel caso che hai proposto in (1)?



Provando con geogebra effettivamente sì, sembrerebbe il maggiore (anche maggiore rispetto al mio amato punto di intersezione con l'asse), ora il problema rimane... al variare della D del mio disegno (cioè della circonferenza, cioè della retta tangente, cioè dell'angolo alfa), l'angolo CEB non varierà anch'esso, senza assumere un valore "massimo" se non l'angolo piatto quando le due rette andranno a coincidere??

[Markus93]

Giustamente l'angolo varia, ma AE no!
Ok, ho capito tutto xD
Grazie!