Lavoro di un sarto

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amatrix92
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Lavoro di un sarto

Messaggio da amatrix92 » 12 gen 2011, 14:21

Un sarto deve comprare tanti mentri di tessuto. Si rivolege ad un azienda che gli fornisce un tessuto lungo $ l $ metri, arrotolato su un cilindro di raggio $ r $, formando insieme al cilindro di base un cilindro più largo di raggio $ R $. Sapendo che lo spessore del tessuto è $ s $, che conto deve fare il sarto, sapendo $ r $, $ R $, $ s $, per controllare che la lunghezza che gli hanno venduto è esatta?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

paga92aren
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Re: Lavoro di un sarto

Messaggio da paga92aren » 12 gen 2011, 17:14

Soluzione:
Testo nascosto:
Chiamo $h$ l'altezza del cilindro (e della stoffa) e calcolo il volume: $V=\pi (R^2-r^2)h=lhs$ da cui semplifico $h$ e ottengo l'equazione per verificare la quantità di stoffa

Gigi95
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Re: Lavoro di un sarto

Messaggio da Gigi95 » 12 gen 2011, 17:16

Questo calcolo vale per valori piccoli di $s$, infatti se $s$ è grande (in particolare non si ha che $s<<r$) l'allungamento della stoffa nel momento in cui viene arrotolata non è trascurabile.
[tex] \lambda \upsilon \iota \varsigma [/tex]

paga92aren
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Re: Lavoro di un sarto

Messaggio da paga92aren » 12 gen 2011, 17:32

Cosa intendi per "allungamento della stoffa"?
Io ho pensato che la stoffa fosse ideale, quindi non subisse variazioni di spessore, e che fosse arrotolata in maniera perfetta, cioè senza lasciare spazi tra un giro e l'altro.

doiug.8
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Re: Lavoro di un sarto

Messaggio da doiug.8 » 12 gen 2011, 18:31

Gigi95 ha scritto:Questo calcolo vale per valori piccoli di $s$, infatti se $s$ è grande (in particolare non si ha che $s<<r$) l'allungamento della stoffa nel momento in cui viene arrotolata non è trascurabile.
Stoffa-mattone?

Gigi95
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Re: Lavoro di un sarto

Messaggio da Gigi95 » 12 gen 2011, 22:15

Eh... non sai mai quale può essere l'affidabilità di un'industria...
Comunque scherzavo, volevo solo vedere se qualcuno si ingegnava a trovare la lunghezza di una spirale di cui sono noti i parametri dati nel problema.
[tex] \lambda \upsilon \iota \varsigma [/tex]

amatrix92
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Re: Lavoro di un sarto

Messaggio da amatrix92 » 12 gen 2011, 22:33

Gigi95 ha scritto:Eh... non sai mai quale può essere l'affidabilità di un'industria...
Comunque scherzavo, volevo solo vedere se qualcuno si ingegnava a trovare la lunghezza di una spirale di cui sono noti i parametri dati nel problema.
Io purtroppo l'ho fatto! xD Complimenti a paga per la soluzione estremamente veloce che non mi era venuta in mente! Se qualcuno vuol provare a calcolare la lungheza della spirale come ha scritto Gigi95 provi. Domani posto la mia soluzione.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

amatrix92
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Re: Lavoro di un sarto

Messaggio da amatrix92 » 13 gen 2011, 16:03

La mia soluzione:

Per prima cosa noto che il numero degli arrotolamenti è dato da $ n=\frac{R-r}{s} $. Suppongo che il cambio da una circonferenza ad un altra avvenga in modo repentino come se fosse un piccolissimo scalino. Sommo tutte le circonferenze:
$ 2 \pi r + 2 \pi (r+s) + 2 \pi (r+2s) + ... + 2 \pi (r+(n-1) s = $

$ 2 \pi ( r+ r+s + r+2s + r + 3s + ... + r+(n-1)s = $

$ 2 \pi n r + 2 \pi s ( 1+2+3+...+(n-1))= $

$ 2 \pi n r + 2 \pi s \cdot \frac {n-1+1}{2} \cdot n = $

$ 2 \pi n ( r+ \frac {sn}{2}) = $

$ \pi n (2r+R-r ) = $

$ \pi \frac {R-r}{s} \cdot (R+r) = $

$ \displaystyle\frac {\pi (R^2 - r^2 ) }{s} $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

Claudio.
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Re: Lavoro di un sarto

Messaggio da Claudio. » 14 gen 2011, 17:02

paga92aren ha scritto:Cosa intendi per "allungamento della stoffa"?
Io ho pensato che la stoffa fosse ideale, quindi non subisse variazioni di spessore, e che fosse arrotolata in maniera perfetta, cioè senza lasciare spazi tra un giro e l'altro.
Non so cosa intendesse per allungamente della stoffa ma quando la stoffa ha uno spessore non può essere arrotolata in modo perfetto poichè la parte che metti all'esterno dovrebbe essere più lunga di quella all'interno.

Gigi95
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Re: Lavoro di un sarto

Messaggio da Gigi95 » 14 gen 2011, 22:26

Claudio. ha scritto:
paga92aren ha scritto:Cosa intendi per "allungamento della stoffa"?
Io ho pensato che la stoffa fosse ideale, quindi non subisse variazioni di spessore, e che fosse arrotolata in maniera perfetta, cioè senza lasciare spazi tra un giro e l'altro.
Non so cosa intendesse per allungamente della stoffa ma quando la stoffa ha uno spessore non può essere arrotolata in modo perfetto poichè la parte che metti all'esterno dovrebbe essere più lunga di quella all'interno.
Esatto intendevo proprio questo.
Comunque amatrix92 non hai calcolato la lunghezza della spirale, ma la somma delle lunghezze delle varie circonferenze (tra l'altro trascurando le lunghezze degli "scalini" che sommate danno $R-r$).
Se qualcuno vuole calcolare la lunghezza della spirale la sfida è aperta!
[tex] \lambda \upsilon \iota \varsigma [/tex]

amatrix92
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Re: Lavoro di un sarto

Messaggio da amatrix92 » 14 gen 2011, 23:20

No io ho calcolato la lunghezza della spirale che è data prorpio dalla somma delle circonferenze! lo "scalino" non l'ho considerato perchè è apparente, poi è ovvio che la lunghezza interna sarà più lunga di quella esterne ma quella lunghezza credo si possa davvero trascurare.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

staffo
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Re: Lavoro di un sarto

Messaggio da staffo » 15 gen 2011, 00:05

ma lo scalino non va contato, perchè non c'è, cioè, ho fatto un piccolo e orrendo disegnino per far capire cosa dico:

Immagine

la lunghezza della spirale, dunque, è proprio data dalla somma delle circonferenze (lo scalino viene già contato quando si calcola la circonferenza
[tex]\Lambda \eta \delta r \epsilon \alpha[/tex]

Claudio.
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Re: Lavoro di un sarto

Messaggio da Claudio. » 15 gen 2011, 00:15

In teoria se la stoffa viene arrotolata "tesa" lo scalino c'è...ma il testo presuppone che la stoffa sia arrotolata in modo ideale, il problema è che in teoria la stoffa non sarebbe un parallelepipedo ma avrebbe un profilo trapezoidale, ma in ogni caso credo che in un problema posto in questo modo la risposta di paga sia perfetta...

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