Triangolo (facile)

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Kopernik
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Triangolo (facile)

Messaggio da Kopernik » 11 gen 2011, 07:45

Siano a, b e c le lunghezze dei lati di un triangolo. Dimostrare che, se $ a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca $, allora il triangolo è equilatero.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

amatrix92
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Re: Triangolo (facile)

Messaggio da amatrix92 » 11 gen 2011, 15:13

Per la disuguglianza di riarrangiamento $ a^2+b^2+ c^2 \geq ab + bc + ca $ e l'uguaglianza si ha solo quando tutti i termini sono uguali quindi $ a=b=c $ quindi è equilatero.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

Giuseppe R
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Re: Triangolo (facile)

Messaggio da Giuseppe R » 11 gen 2011, 15:29

Kopernik ha scritto:Siano a, b e c le lunghezze dei lati di un triangolo. Dimostrare che, se $ a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca $, allora il triangolo è equilatero.
Porto tutto al LHS e moltiplico per a+b+c
$ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 $
$ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} = abc $ quindi per CM-GM ho a=b=c
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.

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domx
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Re: Triangolo (facile)

Messaggio da domx » 14 gen 2011, 19:31

Non basta dire molto semplicemente che se il triangolo è equilatero moltiplicare un suo lato per un qualunque altro equivale ad elevarlo a potenza (dato che moltiplichiamo un numero per sé stesso)?

Mike
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Re: Triangolo (facile)

Messaggio da Mike » 14 gen 2011, 19:49

In quel modo dimostri che, se il triangolo è equilatero, quella formula vale; non il contrario, che è ciò che chiede il problema.

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Re: Triangolo (facile)

Messaggio da domx » 14 gen 2011, 20:08

Mike ha scritto:In quel modo dimostri che, se il triangolo è equilatero, quella formula vale; non il contrario, che è ciò che chiede il problema.
beh, se il triangolo non è equilatero almeno due lati saranno diversi, quindi il loro prodotto non sarà mai equivalente ad il quadrato di uno dei due...

Claudio.
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Re: Triangolo (facile)

Messaggio da Claudio. » 15 gen 2011, 01:17

domx ha scritto:
Mike ha scritto:In quel modo dimostri che, se il triangolo è equilatero, quella formula vale; non il contrario, che è ciò che chiede il problema.
beh, se il triangolo non è equilatero almeno due lati saranno diversi, quindi il loro prodotto non sarà mai equivalente ad il quadrato di uno dei due...
Ma due somme possono essere uguali anche se non hanno gli stessi addendi...

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Re: Triangolo (facile)

Messaggio da domx » 15 gen 2011, 17:09

Claudio. ha scritto:
domx ha scritto:
Mike ha scritto:In quel modo dimostri che, se il triangolo è equilatero, quella formula vale; non il contrario, che è ciò che chiede il problema.
beh, se il triangolo non è equilatero almeno due lati saranno diversi, quindi il loro prodotto non sarà mai equivalente ad il quadrato di uno dei due...
Ma due somme possono essere uguali anche se non hanno gli stessi addendi...
e infatti io dicevo di dire che $ a^2=ab, b^2=bc, c^2=cb $, anche presi separatamente il risultato non cambia...

Claudio.
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Re: Triangolo (facile)

Messaggio da Claudio. » 15 gen 2011, 17:18

In questo modo dici che se il triangolo equilatero allora quella vale, ma noi dobbiamo dire il contrario, e il tuo ragionamento non basta perchè se per esempio prendiamo $a<b<c$ abbiamo che $a^2<ab$, $b^2<bc$ ma $c^2>ac$ quindi in teoria potrebbero compensarsi...
Comunque credo che in generale non vale ciò che ha detto amatrix per il riarrangiamento.

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Re: Triangolo (facile)

Messaggio da amatrix92 » 15 gen 2011, 20:05

Claudio. ha scritto:In questo modo dici che se il triangolo equilatero allora quella vale, ma noi dobbiamo dire il contrario, e il tuo ragionamento non basta perchè se per esempio prendiamo $a<b<c$ abbiamo che $a^2<ab$, $b^2<bc$ ma $c^2>ac$ quindi in teoria potrebbero compensarsi...
Comunque credo che in generale non vale ciò che ha detto amatrix per il riarrangiamento.
Perchè? spiegati meglio
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: Triangolo (facile)

Messaggio da Claudio. » 15 gen 2011, 20:12

Che in generale per il riarrangamento non è vero che l'uguaglianza sia ha SOLO quando sono tutti uguali, in questo caso è vero perchè le due n-uple sono uguali.

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